Toeplitz定理推广和应用

Toeplitz定理

设 $n,k \in \mathbb{N}$n,k∈N，$t_{nk}\ge0$tnk​≥0 且 $\sum_{k=1}^{n}t_{nk}=1$∑k=1n​tnk​=1，$\lim_{n\rightarrow +\infty}t_{nk}=0$limn→+∞​tnk​=0。如果 $\lim_{n \rightarrow + \infty}a_n=a$limn→+∞​an​=a，则

$\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}t_{nk} \cdot a_k=a$n→+∞lim​k=1∑n​tnk​⋅ak​=a

证略

推广 把和为1改为和的极限为1

设 $n,k \in \mathbb{N}$n,k∈N，$t_{nk}\ge0$tnk​≥0 且 $\lim_{n → +\infty}\sum_{k=1}^{n}t_{nk}=1$limn→+∞​∑k=1n​tnk​=1，$\lim_{n\rightarrow +\infty}t_{nk}=0$limn→+∞​tnk​=0。如果 $\lim_{n \rightarrow + \infty}a_n=a$limn→+∞​an​=a，则

$\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}t_{nk} \cdot a_k=a$n→+∞lim​k=1∑n​tnk​⋅ak​=a

证明:

设$S_n=\sum_{k=1}^{n}{t_{nk}}$Sn​=∑k=1n​tnk​
因为 $\lim_{n→ +\infty}t_{nk}=1 \gt 0$limn→+∞​tnk​=1>0,因此 $\exist N_1∈ \mathbb{N}$∃N1​∈N,当 $n \gt N_1$n>N1​时，$S_n \gt 0$Sn​>0

当 $n \gt N_1$n>N1​时，令$b_{nk}=t_{nk}/S_n$bnk​=tnk​/Sn​，则

$b_{nk} \ge 0$bnk​≥0并且
$\sum_{k=1}^n{b_{nk}=1}$∑k=1n​bnk​=1，$\lim_{n→ +\infty}b_{nk}=0$limn→+∞​bnk​=0

根据Toeplitz定理

$\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}b_{nk} \cdot a_k=a$n→+∞lim​k=1∑n​bnk​⋅ak​=a

所以

$\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}t_{nk} \cdot a_k= \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n ⋅ \sum_{k=1}^{n}b_{nk} \cdot a_k = a$n→+∞lim​k=1∑n​tnk​⋅ak​=n→+∞lim​Sn​⋅k=1∑n​bnk​⋅ak​=a

定理的应用

1. 设 $\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=a$limn→+∞​an​=a，证明

$\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{n^2}=\frac{a}{2}$n→+∞lim​n2a1​+2a2​+⋯+nan​​=2a​

证明：

设 $t_{nk}=\frac{2k}{n^2}$tnk​=n22k​，易知 $t_{nk} \ge 0$tnk​≥0， $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}t_{nk}=1$limn→+∞​∑k=1n​tnk​=1，$\lim_{n\rightarrow+\infty}t_{nk}=0$limn→+∞​tnk​=0

故由Toeplitz定理的推广知，

$\lim_{n\rightarrow+\infty} t_{nk} ⋅ a_k=a$n→+∞lim​tnk​⋅ak​=a

即
$\lim_{n\rightarrow+\infty} 2⋅ \frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{n^2}=a$n→+∞lim​2⋅n2a1​+2a2​+⋯+nan​​=a
左边乘以$\frac{1}{2}$21​,即得

$\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{n^2}=\frac{a}{2}$n→+∞lim​n2a1​+2a2​+⋯+nan​​=2a​

2. 设 $\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=a$limn→+∞​an​=a， $0&lt;q&lt;1$0<q<1 证明

$\lim_{n\rightarrow+\infty} \left( a_n + a_{n-1} ⋅ q+ \cdots + a_1 ⋅ q^{n-1} \right) = \frac{a}{1-q}$n→+∞lim​(an​+an−1​⋅q+⋯+a1​⋅qn−1)=1−qa​

证明：

设 $t_{nk}=(1-q)⋅ q^{n-k}$tnk​=(1−q)⋅qn−k，易知 $t_{nk} \ge 0$tnk​≥0， $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}t_{nk}=1$limn→+∞​∑k=1n​tnk​=1，$\lim_{n\rightarrow+\infty}t_{nk}=0$limn→+∞​tnk​=0

故由Toeplitz定理的推广知，

$\lim_{n\rightarrow+\infty} t_{nk} ⋅ a_k=a$n→+∞lim​tnk​⋅ak​=a

即
$\lim_{n\rightarrow+\infty} \left(1-q\right) \left( a_1⋅ q^{n-1} + \cdots + a_{n-1} ⋅ q + a_n \right)=a$n→+∞lim​(1−q)(a1​⋅qn−1+⋯+an−1​⋅q+an​)=a

左边除以$1-q$1−q,即得
$\lim_{n\rightarrow+\infty} \left( a_n + a_{n-1} ⋅ q+ \cdots + a_1 ⋅ q^{n-1} \right) = \frac{a}{1-q}$n→+∞lim​(an​+an−1​⋅q+⋯+a1​⋅qn−1)=1−qa​

3. 设 $\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=a$limn→+∞​an​=a，$\lim_{n\rightarrow+\infty} b_n=b &gt; 0$limn→+∞​bn​=b>0，且$b_n \gt 0, ∀ n ∈ \mathbb{N}$bn​>0,∀n∈N,证明

$\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{a_1b_n+a_2b_{n-1} + \cdots + a_nb_1}{n}=ab$n→+∞lim​na1​bn​+a2​bn−1​+⋯+an​b1​​=ab

证明：

设 $t_{nk}=\frac{b_{n-k+1}}{n ⋅ b}$tnk​=n⋅bbn−k+1​​，易知 $t_{nk} \ge 0$tnk​≥0，$\lim_{n\rightarrow+\infty}t_{nk}=0$limn→+∞​tnk​=0

而$\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}t_{nk}=\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{1}{b}⋅ \frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}=\frac{1}{b}⋅ \lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=1$limn→+∞​∑k=1n​tnk​=limn→+∞​b1​⋅nb1​+b2​+⋯+bn​​=b1​⋅limn→+∞​bn​=1

故由Toeplitz定理的推广知，

$\lim_{n\rightarrow+\infty} t_{nk} ⋅ a_k=a$n→+∞lim​tnk​⋅ak​=a

即
$\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{b_n}{n⋅ b}⋅ a_1 + \frac{b_{n-1}}{n⋅ b}⋅ a_2 + \frac{b_1}{n⋅ b}⋅ a_n=\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{a_1⋅ b_n + a_2⋅ b_{n-1} \cdots + a_n⋅ b_1}{n⋅ b}=a$n→+∞lim​n⋅bbn​​⋅a1​+n⋅bbn−1​​⋅a2​+n⋅bb1​​⋅an​=n→+∞lim​n⋅ba1​⋅bn​+a2​⋅bn−1​⋯+an​⋅b1​​=a
两边同时乘以 $b$b，即得
$\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{a_1b_n+a_2b_{n-1} + \cdots + a_nb_1}{n}=ab$n→+∞lim​na1​bn​+a2​bn−1​+⋯+an​b1​​=ab

4. 设 $\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=a$limn→+∞​an​=a，$b_n \ge 0 (n∈ \mathbb{N})$bn​≥0(n∈N)，$\lim_{n\rightarrow+\infty} \left( b_1 +b_2 + \cdots + b_n\right)=S$limn→+∞​(b1​+b2​+⋯+bn​)=S，证明:

$\lim_{n\rightarrow+\infty} \left( a_1⋅ b_n + a_2⋅ b_{n-1} + \cdots + a_n⋅ b_1 \right)=a⋅ S$n→+∞lim​(a1​⋅bn​+a2​⋅bn−1​+⋯+an​⋅b1​)=a⋅S

证明：

情况1. $S=0$S=0,则 $b_n=0$bn​=0,题目得证

情况2. $S\gt 0$S>0，令 $S_n=b_1+b_2+\cdots+b_n$Sn​=b1​+b2​+⋯+bn​，$b_n=S_n-S_{n-1}$bn​=Sn​−Sn−1​,则$\lim_{n\rightarrow+\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}\left( S_n - S_{n-1}\right)=S-S=0$limn→+∞​bn​=limn→+∞​(Sn​−Sn−1​)=S−S=0

令 $t_{nk}=\frac{b_{n-k+1}}{S}$tnk​=Sbn−k+1​​ 易知 $t_{nk} \ge 0$tnk​≥0， $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}t_{nk}=1$limn→+∞​∑k=1n​tnk​=1，$\lim_{n\rightarrow+\infty}t_{nk}=0$limn→+∞​tnk​=0

故由Toeplitz定理的推广知，

$\lim_{n\rightarrow+\infty} t_{nk} ⋅ a_k=a$n→+∞lim​tnk​⋅ak​=a

即
$\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{a_1⋅ b_n + a_2⋅ b_{n-1} + \cdots + a_n⋅ b_1}{S}=a$n→+∞lim​Sa1​⋅bn​+a2​⋅bn−1​+⋯+an​⋅b1​​=a
两边同乘以 $S$S,即得

$\lim_{n\rightarrow+\infty} \left( a_1⋅ b_n + a_2⋅ b_{n-1} + \cdots + a_n⋅ b_1 \right)=a⋅ S$n→+∞lim​(a1​⋅bn​+a2​⋅bn−1​+⋯+an​⋅b1​)=a⋅S