3622: 已经没有什么好害怕的了
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MB
Submit: 1213 Solved: 576
[Submit][Status][Discuss]
Description
Input
Output
Sample Input
5 35 15 45
40 20 10 30
Sample Output
HINT
输入的2*n个数字保证全不相同。
Source
先把两个数列a，b从小到大排序。
设f[i][j]表示前i对数中，满足糖果大于药片的对数“至少”有j对的方案数。
总共要组n对数，其中糖果大于药片的组数比药片大于糖果的组数多k组，那么总共需要 m=(n+k)/2 对数满足糖果大于药片，剩下的满足药片大于糖果。
先用next[]数组记录对于a中的每个数，在j中有next[i]个数比它小，则a[i]可以和next[i]个数组成糖果大于药片的数对。
进行DP： f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*max(next[i]-(j-1),0)%mod
这样求出来的是“至少”有j对的方案数，而我们需要的是“恰好”有m对的方案数。
显然（并不）这是一个容斥问题：
f[n][i]表示总共n对数中，至少有i对数满足“糖果大于药片”。在a数列中，剩下的(n-i)个数各自要找b数列中剩下的一个数配对，方案共有 (n-i)! (←阶乘) 种。
设dp[n][i]=“n对数中恰好i对数满足糖果大于药片”的方案数，则dp[n][i] = f[n][i]*(n-i)! -多余部分
接下来分析多余部分：
若j>i,在dp[n][j]中(这里的dp[n][j]是已经算完的正确答案，为此需要倒序计算)的一部分可能会被算进f[n][i]中，这种误算的方案有C[j][i]*dp[n][j]种。
所以： dp[n][i]=f[n][i]*(n-i)! - ( Σ(i<j<=n) C[j][i]*dp[n][j] ) 注意取模
之后发现dp数组只用到了[n][i]，所以第一维可以扔掉了
十分巧妙，倒着去推出，估计看到数据范围我也不会去想这样的方法。
容斥一般20还行，这么多貌似(⊙o⊙)…
#pragma GCC optimize(2)
#pragma G++ optimize(2)
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring> #define ll long long
#define N 2007
#define mod 1000000009
using namespace std;
inline int read()
{
int x=,f=;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
} int n,m;
int a[N],b[N];
int num[N];
ll f[N][N],dp[N],C[N][N],A[N]; void init_C()
{
for (int i=;i<=n;i++)C[i][]=;
for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=i;j++)
C[i][j]=(C[i-][j]+C[i-][j-])%mod;
A[]=;
for (int i=;i<=n;i++)(A[i]=A[i-]*i)%=mod;
}
int main()
{
n=read(),m=(read()+n)/;
for (int i=;i<=n;i++)a[i]=read();
for (int i=;i<=n;i++)b[i]=read();
sort(a+,a+n+),sort(b+,b+n+);
for (int i=,j=;i<=n;i++)
{
while(j<=n&&b[j]<a[i])j++;
num[i]=j-;
}
init_C();
for (int i=;i<=n;i++)f[i][]=;
for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=i;j++)
f[i][j]=(f[i-][j]+f[i-][j-]*max(num[i]-j+,))%mod;
for (int i=n;i>=m;i--)
{
dp[i]=f[n][i]*A[n-i]%mod;
for(int j=i+;j<=n;j++)
dp[i]=((dp[i]-dp[j]*C[j][i]%mod)%mod+mod)%mod;
}
printf("%lld\n",dp[m]);
}