I. 基础知识
1. 带余除法（小学）
1. 定义
对于整数 \(a,b\)，若有 \(q,r\) 满足：
\[a=bq+r \]其中 \(0\le r<b\)，那么 \(r\) 称作 \(a\) 模 \(b\) 的 余数，记作 \(a\bmod b\) .
顺便一提，\(a=\left\lfloor\dfrac ab\right\rfloor\) .
2. 性质
\[(a+b)\bmod p=((a\bmod p)+(b\bmod p))\bmod p \] \[(a-b)\bmod p=((a\bmod p)-(b\bmod p))\bmod p \] \[ab\bmod p=((a\bmod p)(b\bmod p))\bmod p \]Proof:
设 \(a=a'p+r_0,b=b'p+r_1\)，则有：
\[(a+b)\bmod p=(r_0+r_1)\bmod p=((a\bmod p)+(b\bmod p))\bmod p \] \[(a-b)\bmod p=(r_0-r_1)\bmod p=((a\bmod p)-(b\bmod p))\bmod p \] \[ab\bmod p=(r_0\cdot r_1)\bmod p=((a\bmod p)(b\bmod p))\bmod p\tag*{□} \]
2. 最大公约数（gcd）/ 最小公倍数（lcm)
II. 矩阵及其应用
1. 定义
\(n\) 行 \(m\) 列的数表就是 矩阵（Martix），矩阵里的数叫做矩阵的 元素（Element），例如下面就是三个矩阵：
\[\begin{bmatrix}1&2\\3&3\end{bmatrix}\quad\begin{Bmatrix}9&3\sqrt 2\\e&0\\-\dfrac 13&\pi^2\end{Bmatrix}\quad,\left(\begin{matrix}3.14&6.28&9.42\\\pi&2\pi&3\pi\end{matrix}\right) \]矩阵一般用大写字母 \(A,B,C,\cdots\) 表示
特殊的矩阵有:
- 零矩阵 \(O\)，所有元素都是 \(0\) 的矩阵 .
- 单位矩阵 \(I\)（或写作 \(E\)），对角线是 \(1\)，其余为 \(0\) 的矩阵：\(\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\end{bmatrix}\) .