描述
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2194
给出序列\(a[0],a[1],...,a[n-1]\)和\(b[0],b[1],...,b[n-1]\).
\(c[k]=\sum_{i=k}^{n-1}a[i]b[i-k]\).
求序列\(c[]\).
分析
这题就是BZOJ_3527_[ZJOI2014]_力_(FFT+卷积)的后半段...
我们来重新分析一下.
首先我们要知道卷积的标准形式:
$$c[i]=\sum_{j=0}^ia[j]b[i-j]$$
很明显这道题并不是卷积的形式,因为卷积是和一定,二这道题却是差一定.
我们其实可以画画图(我脑洞大)...
然后可以发现差一定的时候就是你+1,我也+1,你-1,我也-1.
但是如果我们把其中一个序列倒过来,就变成了你+1,我-1,你-1,我+1,就变成和一定的了!这一点灰常重要!
然后上次我推的那个太不自然,我们这次好好分析一下.
1.把a倒置.
把a倒置之前原式为(我们这里令\(n=n-1\),序列就是\(0~n\),方便一些)
$$\sum_{j=k}^na[i]b[i-k]$$
我们设倒置之后的序列为\(a'[]\),则有
$$原式\Longleftrightarrow\sum_{i=k}^na'[n-i][b[i-k]$$
换元,得到:
$$\sum_{i=0}^{n-k}a'[n-(i+k)]b[(i+k)-k]$$
即
$$\sum_{i=0}^{n-k}a'[n-i-k]b[i]$$
也就是:
$$c[k]=\sum_{i=0}^{n-k}a'[n-i-k]b[i]$$
如果我们设\(A[k]=\sum_{i=1}^ka'[k-i]b[i]\),那么就有:
$$c[k]=A[n-k]$$
这样我们求个卷积,然后倒过来输出就好了.
2.把b倒置
在网上看到好几篇题解都说是倒置b,但是自己推了好长时间都没有推出来,最后发现其中有一点奥妙...
倒置之前原式:
$$\sum_{i=k}^na[i]b[i-k]$$
我们设倒置之后的序列为\(b'[]\),则有:
$$原式\Longleftrightarrow\sum_{i=k}^na[i]b'[n-i+k]$$
换元,得到:
$$\sum_{i=0}^{n-k}a[i+k]b'[n_(i+k)+k]$$
也就是
$$\sum_{i=0}^{n-k}a[i+k]b'[n-i]$$.
可以发现和是定值\(n+k\),但是循环上界却只有\(n-k\).
我们想要得到的应该是:
$$\sum_{i=0}^{n+k}a[i+k]b'[n-i]$$.
我们得到的式子少了一部分.但是观察可以发现,我们得到的式子的循环上界是\(n-k\),对应\(a[n]b'[k]\).
继续向上的\(a[i]\)都为\(0\),而且都后的\(b[i]\)会越界(\(b[负数]\)).
所以这个就可以表示一个卷积了.
$$c[k]=\sum_{i=0}^{n+k}a[n+k-i]b'[i]$$
这个式子是根据原式表示一个卷积二构造出来的等价的式子,只是看起来比较方便而已.
我们设\(B[i]=\sum_{i=0}^ka[i]b[k-i]\).
这样就可以得到
$$c[k]=B[n+k]$$
倒置b的版本:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N=1e5+,maxn=N<<;
const double pi=acos(-1.0);
int n;
int rev[maxn];
int f[N],f_[N],g[N],ans[N];
struct cp{
double r,i;
cp(double r=,double i=):r(r),i(i){}
cp operator + (const cp &x) const { return cp(r+x.r,i+x.i); }
cp operator - (const cp &x) const { return cp(r-x.r,i-x.i); }
cp operator * (const cp &x) const { return cp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
}a[maxn],b[maxn],A[maxn];
void brc(int &n){
memset(rev,-,sizeof rev);
int k=,l=;
while(k<n) k<<=, l++;
n=k;
for(int i=;i<n-;i++){
if(rev[i]!=-) continue;
int x=i,y=,m=l;
while(m--) y<<=, y|=(x&), x>>=;
rev[i]=y, rev[y]=i;
}
}
void dft(cp *a,int n,int op){
for(int i=;i<n-;i++) A[rev[i]]=a[i];
for(int i=;i<n-;i++) a[i]=A[i];
for(int m=;m<=n;m<<=){
cp wn(cos(2.0*pi/m*op),sin(2.0*pi/m*op));
for(int i=;i<n;i+=m){
cp w(); int k=m>>;
for(int j=;j<k;j++){
cp u=a[i+j],t=w*a[i+j+k];
a[i+j]=u+t;
a[i+j+k]=u-t;
w=w*wn;
}
}
}
if(op==-)for(int i=;i<n;i++) a[i].r/=n;
}
void fft(int *x,int *y,int *ans,int la,int lb){
int len=la+lb-;
brc(len);
for(int i=;i<n;i++) a[i]=cp(x[i]), b[i]=cp(y[i]);
dft(a,len,); dft(b,len,);
for(int i=;i<len;i++) a[i]=a[i]*b[i];
dft(a,len,-);
for(int i=;i<len;i++) ans[i]=a[i].r+0.5;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<n;i++) scanf("%d%d",&f[i],&g[i]);
for(int i=;i<n;i++) f_[i]=g[n--i];
fft(f,f_,ans,n,n);
for(int i=n-;i<n+n-;i++) printf("%d\n",ans[i]);
return ;
}