4.6 广义不等式约束
- 锥形式问题
- 半定规划
- 例子
广义不等式约束
将不等式约束函数扩展为向量，并使用广义不等式，得到：
其中，
为正常锥，
为
凸的。则称此问题为广义不等式意义下的凸优化问题。
结论：
- 可行集、任意下水平集和最优集都是凸的。
- 上述问题的任意局部最优解都是全局最优解。
- 可微函数
的最优性条件都成立。
锥形式问题
锥形式问题也称锥规划，有线性目标函数和一个不等式约束函数（仿射函数）：
标准形式的锥形式问题：
不等式形式的锥形式问题：
半定规划
当K为，即
半正定矩阵锥时，相应的锥形式问题为半定规划（SDP）：
其中，且不等式是线性矩阵不等式（LMI）。
如果都是对角阵，那么上式中的线性矩阵不等式等价于n个线性不等式，SDP退化为线性规划。
标准形式的半定规划
标准形式的SDP具有对变量的线性等式约束和非负约束：
其中。
不等式形式的半定规划
其优化变量。
多个LMI：
多个LMI和一个LMI是等价的，例如
其约束函数可以写成：
新的约束的矩阵仍然属于
LP 、SOCP、SDP
首先解释为什么当都是对角阵时，那么上式中的线性矩阵不等式等价于n个线性不等式，SDP退化为线性规划
当都是对角阵时，取k=2，n=2，此时约束函数：
显然SDP退化为线性规划。
SOCP和等价的SDP
SOCP：
想要得到其等价的SDP，关键在于对其约束函数的转变，即由SOCP的约束函数得到一个矩阵半定约束。
显然矩阵正定有两个约束：（1）（2）
由这两个约束可推出SOCP的约束。
例子
最小化矩阵最大的特征值
相当于找到一个最小的t，使得，即
等价于SDP：
矩阵范数极小化
即找到一个最小t，使得
所以其对应的SDP问题为：
来源：https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86659239