先来一个随机变量吧

\[X \]

我们知道它的期望

\[E[X]=\mu \]

现在你对它的方差突然很感兴趣
那按理来说你本应这么求

\[\sigma^2=E[(X-\mu)^2] \]

你理所当然地求不了。
好耶ヽ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ

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啊啊。
不过还可以估计。
直觉来说吗，我们会觉得可以这样

\[s^2=E[(X-\overline{X})^2]=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2 \]

实际上呢，平均值跟期望往往不太一样。这会对方差和我们的估计值产生怎样的影响呢？
嗯……

\[\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2\le \sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 \]

从数学的角度考虑这是一个非常显然的结果。
那，

\[s^2\le \sigma^2 \]

怎么办呢。
机智的某某某把 \(s^2\) 的分母改成了 \(n-1\) 就得到了样本方差 \(S^2\)

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实际上

\[E[s^2]=E\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left((X_i-\mu)-(\overline{X}-\mu)\right)^2\right]=\cdots=E\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\right]-E\left[(\overline{X}-\mu)^2\right] \]

也就是说

\[E[s^2]=\sigma^2-E[(\overline{X}-\mu)^2] \]

嗯？怎么继续化呢
首先，我们注意到

\[E[\overline{X}]=E\left[\frac{\sum\limits_{i=1}^nX_i}{n}\right]=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nE[X_i]=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\mu=\mu \]

你会发现一个很有趣的事实

\[E[(\overline{X}-\mu)^2]=E\left[(\overline{X}-E[\overline{X}])^2\right]=Var(\overline{X})=\cdots=\frac{\sigma^2}{n} \]

于是
样本方差

\[S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2 \]

可以证得

\[E[S^2]=\sigma^2 \]