浮点运算

IEEE754浮点数

这里主要介绍单精度浮点数float，共32位，分为3部分：1位数符、8位阶码、23位尾数，尾数有隐含1.阶码为8位，表示规格化数时范围是1到254之间，偏置取127，这样阶码范围就为-126到127之间，阶码全0表示非规格化数，阶码全1尾数全0表示无穷大，数符为0表示正无穷，为1则为负无穷，阶码全1而尾数非0时则为NaN非数，可以总结如下：

l  规格化数

31  30                          23  22                                                                                              0

 

 

例如，表示-9.625，先求二进制表示 -9.625 = -1001.101，再移位-9.625=-1.001101 * 2 ^3，尾数001 1010 0000 0000 0000 0000,阶码3+127=130=1000 0010，数符1，合起来就是

1100 0001 0001 1010 0000 0000 0000 0000

写成16进制就为 C11A0000H，若采用小端方式存储在主存中，则该float数存储单元的内容依次为 00H 00H 1AH C1H

l  NaN(非数)

31  30                          23  22                                                                                               0

 

 

 

 

l  无穷大

31  30                          23  22                                                                                             0

 

 

无穷用于表达计算中产生的上溢问题。比如两个极大的数相乘时，尽管两个操作数本身可以保存为浮点数，但其结果可能大到无法保存为浮点数，必须进行舍入操作。根据IEEE标准，此时不能将结果舍入为可以保存的最大浮点数（因为这个数可能与实际的结果相差太远而毫无意义），而应将其舍入为无穷。对于结果为负数的情况也是如此，只不过此时会舍入为负无穷，也就是说符号域为1的无穷。

 

非规格化数

31  30                          23  22                                                                                             0

 

在这种情况下，指数值 E=1-Bias（单精度下即为1-127=-126），而有效数字的值 M=f，也就是说它是小数段的值，不包含隐含的开头的 1。

 

 

浮点数的舍入与舍入误差

在浮点数的舍入问题上，IEEE 浮点格式定义了 4 种不同的舍入方式。其中，默认的舍入方法是向偶数舍入，而其他三种可用于计算上界和下界。

    下表是 4 种舍入方式的应用举例。这里需要特别说明的是，向偶数舍入（向最接近的值舍入）方式会试图找到一个最接近的匹配值。因此，它将 1.4 舍入成 1，将 1.6 舍入成 2，而将 1.5 和 2.5 都舍入成 2。

 

 

 

浮点数的运算

l  规格化

n  规格化数：以补码为例，正数时为0.1xxx，负数时为1.0xxxx，最高有效位有效

n  左规：处理非规格化数，尾数每左移一位，阶码相应的减一，可能多次

n  右规：处理溢出，尾数右移一位，阶码加1

l  加法

n  对阶

小阶向大阶看齐，也即较小的浮点数，其阶码每加一，尾数就右移一位，此时尾数可能会舍入；

n  尾数求和

当参与相加的两个浮点数阶码经过对阶后，就可以进行尾数求和了；

n  规格化

尾数可能溢出，此时需要右规，相应的阶码加一，同样这里可能产生精度损失

n  溢出判断

这里的溢出判断是指阶码有无溢出

 

习题

1、模拟（三）

 

 

 2和3正确，其它错误，选B