4870: [Shoi2017]组合数问题

题意：求

\(n \le 10^9, 0\le r < k \le 50\)

组合数推了一下，有一些有趣的性质但是并不好做

想到了从意义方面考虑，但是没有深入，去看了题解

n大k小，一副矩乘的样子

就是求“n个物品取模k余r个的方案数”

因为取的个数模k，变得很有意思，可以把组合数的递推式矩乘了...

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

inline int read() {

	char c=getchar(); int x=0,f=1;

	while(c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}

	while(c>='0' && c<='9') {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}

	return x*f;

}

int n, mo, k, r;

struct matrix {

	int a[51][51];

	matrix() {memset(a, 0, sizeof(a));}

	int* operator [](int x) {return a[x];}

} f, a;

matrix operator *(matrix a, matrix b) {

	int n = k;

	matrix c;

	for(int i=0; i<n; i++)

		for(int k=0; k<n; k++) if(a[i][k])

			for(int j=0; j<n; j++) if(b[k][j])

				c[i][j] = (c[i][j] + (ll) a[i][k] * b[k][j] %mo) %mo;

	return c;

}

matrix operator ^(matrix a, ll b) {

	int n = k;

	matrix c;

	for(int i=0; i<n; i++) c[i][i] = 1;

	for(; b; b>>=1, a=a*a) if(b&1) c=c*a;

	return c;

}

int Pow(ll a, int b) {

	ll ans=1;

	for(; b; b>>=1, a=a*a%mo)

		if(b&1) ans=ans*a%mo;

	return ans;

}

int main() {

	freopen("in", "r", stdin);

	n=read(); mo=read(); k=read(); r=read();

	if(k == 1) {printf("%d", Pow(2, n)); return 0;}

	for(int i=0; i<k; i++) f[i][i] = 1, f[(i+1)%k][i] = 1;

	f = f ^ ((ll) n * k);

	a[0][0] = 1;

	a = f * a;

	printf("%d\n", a[r][0]);

}