基本思想
真实世界中并没有复信号存在，但在模拟通信系统和数字通信系统的相关理论中，复数常常被用来表示信号，这是出于简化计算和分析的目的。本文主要针对通信原理中带通信号复数表示的相关内容进行回顾。
复包络
根据傅里叶变换的公式不难证明，实信号经傅里叶变换后所得频谱的正负频率部分共轭偶对称，对于实信号
x
(
t
)
x(t)
x(t)而言
X
(
f
)
=
X
∗
(
−
f
)
X(f)=X^*(-f)
X(f)=X∗(−f) 对于带通信号而言，仅需正（负）频率部分的频谱及载波频率便可完全确定一个带通信号。根据这个思路，我们可以得到带通信号表示的一个思路——复包络。
设某个带通信号
s
(
t
)
=
g
1
(
t
)
c
o
s
(
2
π
f
c
t
)
−
g
2
(
t
)
s
i
n
(
2
π
f
c
t
)
s(t)=g_1(t)cos(2{\pi}f_ct)-g_2(t)sin(2{\pi}f_ct)
s(t)=g1(t)cos(2πfct)−g2(t)sin(2πfct) 其中
g
1
(
t
)
,
g
2
(
t
)
g_1(t),g_2(t)
g1(t),g2(t)均为基带信号，其最高频率成分均低于
f
c
f_c
fc。
设
s
(
t
)
s(t)
s(t)的希尔伯特变换为为
s
(
t
)
^
\hat{s(t)}
s(t)^由傅里叶变换和希尔伯特相关的数学推导可以证明，对于信号
s
L
(
t
)
=
[
s
(
t
)
+
j
s
(
t
)
^
]
e
−
j
2
π
f
c
t
s_L(t)=[s(t)+j\hat{s(t)}]e^{-j2{\pi}f_ct}
sL(t)=[s(t)+js(t)^]e−j2πfct 其频谱是将
s
(
t
)
s(t)
s(t)的频谱去除负频率部分并将正频率部分加倍后搬移
f
c
f_c
fc到基带的结果，即
S
L
(
f
)
=
{
2
S
(
f
+
f
c
)
∣
f
∣
≤
f
c
0
o
t
h
e
r
s
S_L(f)=\begin{cases} 2S(f+f_c) & |f| \leq f_c \\ 0 & others \end{cases}
SL(f)={2S(f+fc)0∣f∣≤fcothers
复信号
将
s
(
t
)
,
s
(
t
)
^
s(t),{\hat{s(t)}}
s(t),s(t)^代入
s
L
(
t
)
=
[
s
(
t
)
+
j
s
(
t
)
^
]
e
−
j
2
π
f
c
t
s_L(t)=[s(t)+j\hat{s(t)}]e^{-j2{\pi}f_ct}
sL(t)=[s(t)+js(t)^]e−j2πfct 可以得到
s
L
(
t
)
=
g
1
(
t
)
+
j
g
2
(
t
)
s_L(t)=g_1(t)+jg_2(t)
sL(t)=g1(t)+jg2(t) 本文中涉及的带通信号的复包络即为以
g
1
(
t
)
g_1(t)
g1(t)和
g
2
(
t
)
g_2(t)
g2(t)组合形成的复数，复包络中不含有载波相关的信息，它描述的是一个复基带信号。
前面提到的
s
(
t
)
=
g
1
(
t
)
c
o
s
(
2
π
f
c
t
)
−
g
2
(
t
)
s
i
n
(
2
π
f
c
t
)
s(t)=g_1(t)cos(2{\pi}f_ct)-g_2(t)sin(2{\pi}f_ct)
s(t)=g1(t)cos(2πfct)−g2(t)sin(2πfct) 是正交幅度调制的典型表示方法，也就是说，我们可以使用复数表示采用正交调制的两路实信号的调制解调过程。
实际分析计算过程中我们可以发现，使用复数表示方法可以将大量复杂的三角函数运算转化为指数运算，此处不再赘述。