正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/problem/643

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题目大意

n n n个机器人，第 i i i个攻击力为 A i A_i Ai​，防御为 D i D_i Di​。
然后你每次可以对一个机器人造成 A t k Atk Atk点伤害，之后所有机器人对你进行一次攻击。

开局可以删除两个机器人，求最少受到多少伤害。

n ∈ [ 3 , 3 × 1 0 5 ] , A i , T i ∈ [ 1 , 1 0 4 ] n\in[3,3\times 10^5],A_i,T_i\in[1,10^4] n∈[3,3×105],Ai​,Ti​∈[1,104]

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解题思路

设每个机器人需要攻击的次数 T i T_i Ti​
先不考虑删除的话是一个很经典的贪心，按照 T i A i \frac{T_i}{A_i} Ai​Ti​​从小到大排序就好了。证明的话

设目前是排序好的序列，是否交换相邻的两个 i , j ( j > i ) i,j(j>i) i,j(j>i)需要满足
T i A j ≥ T j A i T_iA_j\geq T_jA_i Ti​Aj​≥Tj​Ai​
化简一下就可以发现一定不合法

然后考虑删除哪两个，设 S t i = ∑ j = 1 i T i , S a i = ∑ j = 1 n A i St_i=\sum_{j=1}^iT_i,Sa_i=\sum_{j=1}^nA_i Sti​=∑j=1i​Ti​,Sai​=∑j=1n​Ai​，那么删除一个 x x x会减少贡献
b x = ( S a n − S a x ) T x + S t x A x − A x b_x=(Sa_n-Sa_x)T_x+St_xA_x-A_x bx​=(San​−Sax​)Tx​+Stx​Ax​−Ax​
（分别计算自己减去的和自己对后面的数产生的贡献）。

但是如果删除了两个数 x , y ( x < y ) x,y(x<y) x,y(x<y)就会多减去 T x A y T_xA_y Tx​Ay​的贡献。

所以我们要求 max ⁡ { b x + b y − T x A y } ( x < y ) \max\{ b_x+b_y-T_xA_y \} (x<y) max{bx​+by​−Tx​Ay​}(x<y)
这个因为值域比较小直接上李超树就好了，当然也可以 C D Q CDQ CDQ分治或者 S p l a y Splay Splay搞斜率优化

时间复杂度 O ( n log ⁡ n ) O(n\log n) O(nlogn)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=3e5+10;
struct node{
	ll b,k;
};
ll n,atk,sum,ans,maxs,lim;
ll p[N],a[N],t[N],st[N],sa[N],b[N],w[N];
bool cmp(ll x,ll y)
{return t[x]*a[y]<t[y]*a[x];}
ll ct(ll x,ll id)
{return t[p[id]]*x+b[id];}
void Change(ll x,ll l,ll r,ll id){
	if(ct(l,id)>=ct(l,w[x])&&ct(r,id)>=ct(l,w[x])){w[x]=id;return;}
	if(ct(l,id)<=ct(l,w[x])&&ct(r,id)<=ct(r,w[x]))return;
	if(l==r)return;ll mid=(l+r)>>1;
	if(t[p[id]]<t[p[w[x]]]){
		if(ct(mid,id)>=ct(mid,w[x]))
			Change(x*2+1,mid+1,r,w[x]),w[x]=id;
		Change(x*2,l,mid,id);
	}
	else{
		if(ct(mid,id)>=ct(mid,w[x]))
			Change(x*2,l,mid,w[x]),w[x]=id;
		Change(x*2+1,mid+1,r,id);
	}
	return;
}
ll Ask(ll x,ll l,ll r,ll pos){
	if(l==r)return ct(pos,w[x]);
	ll mid=(l+r)>>1,ans;
	if(pos<=mid)ans=Ask(x*2,l,mid,pos);
	else ans=Ask(x*2+1,mid+1,r,pos);
	return max(ans,ct(pos,w[x]));
}
signed main()
{
	freopen("fittest.in","r",stdin);
	freopen("fittest.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&atk);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&a[i],&t[i]);
		t[i]=(t[i]+atk-1)/atk;p[i]=i;
		sum+=a[i];lim=max(max(a[i],t[i]),lim);
	}
	sort(p+1,p+1+n,cmp);b[0]=-1e18;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll x=p[i];
		st[i]=st[i-1]+t[x];
		sa[i]=sa[i-1]+a[x];
		b[i]=(sum-sa[i])*t[x]+st[i]*a[x]-a[x];
		ans+=st[i]*a[x]-a[x];
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		int x=p[i];
		ll tmp=b[i]+Ask(1,1,lim,a[x]);
		maxs=max(maxs,tmp);t[x]=-t[x];
		Change(1,1,lim,i);
	}
	printf("%lld\n",ans-maxs);
	return 0;
}