正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/problem/643

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题目大意

\(n\)个机器人，第\(i\)个攻击力为\(A_i\)，防御为\(D_i\)。
然后你每次可以对一个机器人造成\(Atk\)点伤害，之后所有机器人对你进行一次攻击。

开局可以删除两个机器人，求最少受到多少伤害。

\(n\in[3,3\times 10^5],A_i,T_i\in[1,10^4]\)

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解题思路

设每个机器人需要攻击的次数\(T_i\)
先不考虑删除的话是一个很经典的贪心，按照\(\frac{T_i}{A_i}\)从小到大排序就好了。证明的话

设目前是排序好的序列，是否交换相邻的两个\(i,j(j>i)\)需要满足

\[T_iA_j\geq T_jA_i \]

化简一下就可以发现一定不合法

然后考虑删除哪两个，设\(St_i=\sum_{j=1}^iT_i,Sa_i=\sum_{j=1}^nA_i\)，那么删除一个\(x\)会减少贡献

\[b_x=(Sa_n-Sa_x)T_x+St_xA_x-A_x \]

（分别计算自己减去的和自己对后面的数产生的贡献）。

但是如果删除了两个数\(x,y(x<y)\)就会多减去\(T_xA_y\)的贡献。

所以我们要求$$\max{ b_x+b_y-T_xA_y } (x<y)$$
这个因为值域比较小直接上李超树就好了，当然也可以\(CDQ\)分治或者\(Splay\)搞斜率优化

时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=3e5+10;
struct node{
	ll b,k;
};
ll n,atk,sum,ans,maxs,lim;
ll p[N],a[N],t[N],st[N],sa[N],b[N],w[N];
bool cmp(ll x,ll y)
{return t[x]*a[y]<t[y]*a[x];}
ll ct(ll x,ll id)
{return t[p[id]]*x+b[id];}
void Change(ll x,ll l,ll r,ll id){
	if(ct(l,id)>=ct(l,w[x])&&ct(r,id)>=ct(l,w[x])){w[x]=id;return;}
	if(ct(l,id)<=ct(l,w[x])&&ct(r,id)<=ct(r,w[x]))return;
	if(l==r)return;ll mid=(l+r)>>1;
	if(t[p[id]]<t[p[w[x]]]){
		if(ct(mid,id)>=ct(mid,w[x]))
			Change(x*2+1,mid+1,r,w[x]),w[x]=id;
		Change(x*2,l,mid,id);
	}
	else{
		if(ct(mid,id)>=ct(mid,w[x]))
			Change(x*2,l,mid,w[x]),w[x]=id;
		Change(x*2+1,mid+1,r,id);
	}
	return;
}
ll Ask(ll x,ll l,ll r,ll pos){
	if(l==r)return ct(pos,w[x]);
	ll mid=(l+r)>>1,ans;
	if(pos<=mid)ans=Ask(x*2,l,mid,pos);
	else ans=Ask(x*2+1,mid+1,r,pos);
	return max(ans,ct(pos,w[x]));
}
signed main()
{
	freopen("fittest.in","r",stdin);
	freopen("fittest.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&atk);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&a[i],&t[i]);
		t[i]=(t[i]+atk-1)/atk;p[i]=i;
		sum+=a[i];lim=max(max(a[i],t[i]),lim);
	}
	sort(p+1,p+1+n,cmp);b[0]=-1e18;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ll x=p[i];
		st[i]=st[i-1]+t[x];
		sa[i]=sa[i-1]+a[x];
		b[i]=(sum-sa[i])*t[x]+st[i]*a[x]-a[x];
		ans+=st[i]*a[x]-a[x];
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		int x=p[i];
		ll tmp=b[i]+Ask(1,1,lim,a[x]);
		maxs=max(maxs,tmp);t[x]=-t[x];
		Change(1,1,lim,i);
	}
	printf("%lld\n",ans-maxs);
	return 0;
}