开关问题Description
有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）Input
输入第一行有一个数K，表示以下有K组测试数据。
每组测试数据的格式如下：
第一行 一个数N（0 < N < 29）
第二行 N个0或者1的数，表示开始时N个开关状态。
第三行 N个0或者1的数，表示操作结束后N个开关的状态。
接下来 每行两个数I J，表示如果操作第 I 个开关，第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。Output
如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it's impossible~!!” 不包括引号Sample Input
2
3
0 0 0
1 1 1
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
0 0
3
0 0 0
1 0 1
1 2
2 1
0 0Sample Output
4
Oh,it's impossible~!!Hint
第一组数据的说明：
一共以下四种方法：
操作开关1
操作开关2
操作开关3
操作开关1、2、3 （不记顺序）
【分析】
这是我打的第一高斯消元哦，啊~别人都说这题经典这题水，可是我还是打了很久，而且！—还不算很懂..
不知道高斯消元是好懂还是不好懂~
某些开关的动作可能影响另一些开关的状态,因此以开关为节点，如果存在这种关系就加入一条有向边（开始我想成对称的了，浪费了很多时间- -），这样就构成了一个图，可以用邻接矩阵表示（但是要转置一下，后面细说）。当某个开关按下时，其自身状态改变，受其影响的开关的状态也改变。
用两个N维向量表示初始状态和结束状态，两者逐个元素异或，就得到了开关状态的变化。
以第一个样例输入为例分析，3个开关，两两相连，初始状态000，最终状态111，开关对应的邻接矩阵为
将对角线的0全部换成1，得矩阵A=
将矩阵每一列想象为一个开关按下后产生的效果（1表示状态翻转，0表示不变），比如，第二列就表示按下第二个开关，则第二个开关的本身状态要改变（这就是把对角线0换成1的原因），受第二个开关影响的开关j状态也要改变，恰好对应邻接矩阵中A[j, 2]=1
把A写成分块矩阵的形式，每一列作为一个子矩阵，则有A=[a1, a2, a3],此处ai均为列
向量，设第i个开关按下次数为xi，xi=0或1（开关按两下和没按是等效的，0/1就够了）
记初始状态b0=[0,0,0],最终状态b1=[1,1,1],则状态变化b=b0^b1=[1,1,1],这里b也是列
向量。目标就是求x1a1 + x2a2 +x3a3 = b的解的个数（此处的加是模2加，也就是异或，下同）
这个方程可以写成
下面就是解这个线性方程组
对增广矩阵[A b]做初等行变换，化成阶梯形（高斯消元法），如果存在[0,0,…,0,1]的行，就是无解；如果存在r行[0,0,…,0,0]，就意味着有r个*变量，因为这里的变量只取0/1，所以有2r个解；如果不存在[0,0,…,0,*]，即把最后一行去掉后不存在全0行，则A为满秩矩阵，则方程组有唯一解。
转自：http://www.cnblogs.com/fstang/archive/2013/01/24/2874231.html
本题代码如下：
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
#define Maxn 40 int a[Maxn],b[Maxn];
int t[Maxn][Maxn]; int n; void debug()
{
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=n+;j++)
{
printf("%d ",t[i][j]);
}
printf("\n");
}printf("\n");
} void init()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=;i<=n;i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
a[i]^=x;
}
memset(t,,sizeof(t));
while()
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(x==&&y==) break;
// t[x][y]=1;
t[y][x]=;
}
for(int i=;i<=n;i++) t[i][i]=;
for(int i=;i<=n;i++) t[i][n+]=a[i];
} int ffind()
{
// debug();
int l=,r=;
while(l<=n&&r<=n)
{
if(t[l][r]==)
{
for(int i=l+;i<=n;i++) if(t[i][r]==)
{
for(int j=r;j<=n+;j++)
{
swap(t[i][j],t[l][j]);
}
break;
}
}
// debug();
if(t[l][r]==)
{
r++;continue;
}
for(int i=l+;i<=n;i++) if(t[i][r]==)
{
for(int j=r;j<=n+;j++)
t[i][j]^=t[l][j]; }
// printf("%d %d:\n",l,r);
// debug();
l++,r++;
} //无解
for(int i=l;i<=n;i++)
{
if (t[i][n+]!=) return -;
}
return <<(n-l+);
} int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
init();
int ans=ffind();
if(ans==-) printf("Oh,it's impossible~!!\n");
else printf("%d\n",ans);
}
return ;
}
[POJ 1830]
2016-09-26 22:09:29
第一道题照例总结:
看了一个高斯消元的总结，代码写得很漂亮，分类很清楚，还有注释，我就是看这个懂了一点点的。。
慢慢看代码就懂了~
#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std; const int maxn = 105; int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.
int a[maxn][maxn];
int x[maxn]; // 解集.
bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.
int free_num; void Debug(void)
{
int i, j;
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
} inline int gcd(int a, int b)
{
int t;
while (b != 0)
{
t = b;
b = a % b;
a = t;
}
return a;
} inline int lcm(int a, int b)
{
return a * b / gcd(a, b);
} // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回*变元的个数)
int Gauss(void)
{
int i, j, k;
int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
int col; // 当前处理的列.
int ta, tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
// 转换为阶梯阵.
col = 0; // 当前处理的列.
// Debug();
for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
{ // 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
max_r = k;
for (i = k + 1; i < equ; i++)
{
if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
}
if (max_r != k)
{ // 与第k行交换.
for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
}
// Debug();
if (a[k][col] == 0)
{ // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
k--; continue;
}
for (i = k + 1; i < equ; i++)
{ // 枚举要删去的行.
if (a[i][col] != 0)
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
for (j = col; j < var + 1; j++)
{
a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
}
}
// Debug();
}
// Debug();
}
Debug();
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++)
{ // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是*变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为*变元的个数.
if (k < var)
{
// 首先，*变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
for (i = k - 1; i >= 0; i--)
{
// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
temp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
}
x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
}
return var - k; // *变元有var - k个.
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
} int main(void)
{
int i, j;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(x, 0, sizeof(x));
memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
// Debug();
free_num = Gauss();
if (free_num == -1) printf("无解!\n");
else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
else if (free_num > 0)
{
printf("无穷多解! *变元个数为%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; i++)
{
if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else
{
for (i = 0; i < var; i++)
{
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}
比如我们做这个矩阵
我们看一看他的过程(点开看)：
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-
- -
-
- x1: -
x2: -
x3:
output
总的来说就是：
*目标：梯形矩阵
init：构造增广矩阵
1.把某行这列最大的交换上来
2.把这列下面的都变成0，（利用这行的值进行初等行变换）
3.判断解的类型
涉及到一个概念：矩阵的轶 [上度娘]
感觉就是，独立的行是有用的，不能用前面进行初等行变换而得到的，就是说不会把它系数全部变成0的。
矩阵的轶就是化成阶梯矩阵后系数全0行的行数。
推论1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A B)=n 。
推论2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r(A)＝r(A B)<n 。
无穷解时还涉及概念 *未知量
未完待续。。。
2016-09-26 22:09:33