• \(\text{Ynoi 2018}\) 天降之物

题目：

一个长为 \(n\) 的序列 \(a\)。

需要实现 \(m\) 个操作，操作有两种：

1. 把序列中所有值为 \(x\) 的数的值变成 \(y\)。

2. 找出一个位置 \(i\) 满足 \(a_i=x\)，找出一个位置 \(j\) 满足 \(a_j=y\)，使得 \(|i-j|\) 最小，并输出 \(|i-j|\)。

\(n\le 10^5\)。

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题解：

考虑根号分治。

对于阈值 block，设一个数出现次数为 \(cnt_x\)，那么对于 \(cnt\) 分为比 block 大、小的情况，称作大数、小数。

对于查询两个小数的情况可以直接线性归并得到结果，单次复杂度 \(O(block)\)。

大小超过 block 直接 \(O(n)\) 扫描，因为大数最多 block 次。

考虑对于大数定义它的附属集合为其合并时用过的小数，保证长度 \(\le\) block，否则直接暴力更新。

考虑修改。

小数小数合并，小数就不管，大数暴力更新。

大数大数合并仍然是暴力更新，因为每个大数最多被合并一次，所以均摊下来仍然是 \(O(\dfrac{n}{block})\)。

大数小数则直接把 \(x\) 并入 \(y\) 的附属集合。\(O(\dfrac{n}{block})\)。

考虑查询。

小数小数则暴力合并。

大数大数考虑将 \(x\) 合并到 \(y\) 和将 \(y\) 合并到 \(x\) 的代价的 min。\(O(block)\)

大数小数暴力归并 \(x,y\) 的附属集合（\(x\) 为小数），再与 \(x\) 并到 \(y\) 的情况取 \(\min\) 。时间复杂度 \(O(block)\) 。

总的时间复杂度 \(O((n+m)\sqrt n)\)，空间复杂度 \(O()n\sqrt n\)。

至于 block 不一定是严格的 \(\sqrt n\)，取到 650 最好。

目前最优解。