强化学习读书笔记 - 05 - 蒙特卡洛方法(Monte Carlo Methods)
学习笔记：
Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016
数学符号看不懂的，先看看这里：
蒙特卡洛方法简话
蒙特卡洛是一个赌城的名字。冯·诺依曼给这方法起了这个名字，增加其神秘性。
蒙特卡洛方法是一个计算方法，被广泛的用于许多领域，用于求值。
相对于确定性的算法，蒙特卡洛方法是基于抽样数据来计算结果。
蒙特卡洛方法的基本思路
蒙特卡洛方法的整体思路是：模拟 -> 抽样 -> 估值。
示例：
比如：如何求\(\pi\)的值。一个使用蒙特卡洛方法的经典例子如下：
我们知道一个直径为1的圆的面积为\(\pi\)。
把这个圆放到一个边长为2的正方形（面积为4）中，圆的面积和正方形的面积比是：\(\frac{\pi}{4}\)。
如果可以测量出这个比值\(c\)，那么\(\pi=c \times 4\)。
如何测量比值\(c\)呢？用飞镖去扎这个正方形。扎了许多次后，用圆内含的小孔数除以正方形含的小孔数可以近似的计算比值\(c\)。
说明：
模拟 - 用飞镖去扎这个正方形为一次模拟。
抽样 - 数圆内含的小孔数和正方形含的小孔数。
估值 - 比值\(c\) = 圆内含的小孔数 / 正方形含的小孔数
蒙特卡洛方法的使用条件
环境是可模拟的
在实际的应用中，模拟容易实现。相对的，了解环境的完整知识反而比较困难。
由于环境可模拟，我们就可以抽样。只适合情节性任务(episodic tasks)
因为，需要抽样完成的结果，只适合有限步骤的情节性任务。
蒙特卡洛方法在强化学习中的用例
只要满足蒙特卡洛方法的使用条件，就可以使用蒙特卡洛方法。
比如：游戏类都适合：完全信息博弈游戏，像围棋、国际象棋。非完全信息博弈游戏：21点、麻将等等。
蒙特卡洛方法在强化学习中的基本思路
蒙特卡洛方法的整体思路是：模拟 -> 抽样 -> 估值。
如何应用到强化学习中呢？
强化学习的目的是得到最优策略。
得到最优策略的一个方法是求\(v_{pi}(s), \ q_{pi}{s, a}\)。 - 这就是一个求值问题。
结合通用策略迭代(GPI)的思想。
下面是蒙特卡洛方法的一个迭代过程：
- 策略评估迭代
1. 探索 - 选择一个状态(s, a)。
1. 模拟 - 使用当前策略\(\pi\)，进行一次模拟，从当前状态(s, a)到结束，随机产生一段情节(episode)。
1. 抽样 - 获得这段情节上的每个状态(s, a)的回报\(G(s, a)\)，记录\(G(s, a)\)到集合\(Returns(s, a)\)。
1. 估值 - q(s, a) = Returns(s, a)的平均值。
（因为状态(s, a)可能会被多次选择，所以状态(s, a)有一组回报值。） - 策略优化 - 使用新的行动价值\(q(s, a)\)优化策略\(\pi(s)\)。
解释
- 上述的策略评估迭代步骤，一般会针对所有的状态-行动，或者一个起始(\(s_0, a_0\))下的所有状态-行动。
这也说明持续探索（continual exploration）是蒙特卡洛方法的主题。 - 模拟过程 - 会模拟到结束。是前进式的，随机选择下一个行动，一直前进到结束为止。
因此可以看出蒙特卡洛方法需要大量的迭代，才能正确的找到最优策略。 - 策略评估是计算行动价值(\(q(s, a)\))。
(也可以是状态价值，则\(\pi(s)\)为状态\(s\)到其下一个最大价值状态\(s‘\)的任意行动。)
计算方法：
\[
q(s, a) = average(Returns(s, a))
\]
一些概念
Exploring Starts 假设 - 指有一个探索起点的环境。
比如：围棋的当前状态就是一个探索起点。自动驾驶的汽车也许是一个没有起点的例子。- first-visit - 在一段情节中，一个状态只会出现一次，或者只需计算第一次的价值。
- every-visit - 在一段情节中，一个状态可能会被访问多次，需要计算每一次的价值。
on-policy method - 评估和优化的策略和模拟的策略是同一个。
off-policy method - 评估和优化的策略和模拟的策略是不同的两个。
有时候，模拟数据来源于其它处，比如：已有的数据，或者人工模拟等等。- target policy - 目标策略。off policy method中，需要优化的策略。
behavior policy - 行为策略。off policy method中，模拟数据来源的策略。
根据上面的不同情境，在强化学习中，提供了不同的蒙特卡洛方法。
- 蒙特卡洛（起始点（Exploring Starts））方法
- On-policy first visit 蒙特卡洛方法（for \(\epsilon\)-soft policies）
- Off-policy every-visit 蒙特卡洛方法
蒙特卡洛（起始点（Exploring Starts））方法
Initialize, for all \(s \in \mathcal{S}, \ a \in \mathcal{A}(s)\):
\(Q(s,a) :=\) arbitrary
\(\pi(s) :=\) arbitrary
\(Returns(s, a) :=\) empty listRepeat forever:
Choose \(S_0 \in \mathcal{S}\) and \(A_0 \in \mathcal{A}(S_0)\) s.t. all pairs have probability > 0
Generate an episode starting from \(S_0, A_0\), following \(\pi\)
For each pair \(s,a\) appearing in the episode:
$G := $ return following the first occurrence of s,a
Append \(G\) to \(Returns(s, a)\)
\(Q(s, a) := average(Returns(s, a))\)
For each s in the episode:
\(\pi(s) := \underset{a}{argmax} Q(s,a)\)
On-policy first visit 蒙特卡洛方法（for \(\epsilon\)-soft policies）
Initialize, for all \(s \in \mathcal{S}, \ a \in \mathcal{A}(s)\):
\(Q(s,a) :=\) arbitrary
\(\pi(a|s) :=\) an arbitrary \(\epsilon\)-soft policy
\(Returns(s, a) :=\) empty listRepeat forever:
(a) Generate an episode using \(\pi\)
(b) For each pair \(s,a\) appearing in the episode:
$G := $ return following the first occurrence of s,a
Append \(G\) to \(Returns(s, a)\)
\(Q(s, a) := average(Returns(s, a))\)
(c) For each s in the episode:
\(A^* := \underset{a}{argmax} \ Q(s,a)\)
For all \(a \in \mathcal{A}(s)\):
if \(a = A^*\)
\(\pi(a|s) := 1 - \epsilon + \frac{\epsilon}{|\mathcal{A}(s)|} Q(s,a)\)
if \(a \ne A^*\)
\(\pi(a|s) := \frac{\epsilon}{|\mathcal{A}(s)|} Q(s,a)\)
Off-policy every-visit 蒙特卡洛方法
Initialize, for all \(s \in \mathcal{S}, \ a \in \mathcal{A}(s)\):
\(Q(s,a) :=\) arbitrary
\(C(s,a) :=\) 0
\(\mu(a|s) :=\) an arbitrary soft behavior policy
\(\pi(a|s) :=\) a deterministic policy that is greedy with respect to QRepeat forever:
Generate an episode using \(\mu\):
\(S_0,A_0,R_1,\cdots,S_{T-1},A_{T-1},R_T,S_T\)
\(G := 0\)
\(W := 1\)
For t = T - 1 downto 0:
\(G := \gamma G + R_{t+1}\)
\(C(S_t, A_t) := C(S_t, A_t) + W\)
\(Q(S_t, A_t) := Q(S_t, A_t) + \frac{W}{C(S_t, A_t)} |G - Q(S_t, A_t)|\)
\(\pi(S_t) := \underset{a}{argmax} \ Q(S_t, a)\) (with ties broken consistently)
If \(A_t \ne \pi(S_t)\) then ExitForLoop
\(W := W \frac{1}{\mu(A_t|S_t)}\)