[ZJOI2008]树的统计Count
Description
一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成
一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 I
II. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身
Input
输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有
一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作
的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。
Output
对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。
Sample Input
4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4
Sample Output
4
1
2
2
10
6
5
6
5
16
solution：
这非常明显，是一个树链剖分的模板题。
树链剖分就是把一棵树分成若干条链，分为轻链和重链，并把点映射到一个线性数列，然后用线段树维护这个序列。
对于点u，size最大的儿子称为重儿子，其他的儿子叫轻儿子。e（u，v）为重边，u到u的轻儿子的边称为轻边。重链是由重边组成的链。
性质1：u的任意轻儿子v，有size[v]<=size[u]/2
证明：假设size[v]>size[u]/2,设u的重儿子为v’.
size[v’]>=size[v]
size[v’]+size[v]>=2size[v]>size[u]矛盾
性质2：从根到任意点的路径中，轻边与重链的数量都小于等于lg n
证明：
1、假设路径只有轻边，每经过一条轻边，size至少减一半，所以最多lg n条轻边
2、每经过一条重边，size不会变大，所以1在有重边的时候仍然成立
3、连续的重边会连成重链，所以重链数<=轻边数+1
对于每一棵子树，优先搜索重儿子，每一个点的dfs序即为该点在线段树上的位置。
显然，一棵子树中的点是一个连续的区间，一条重链上的点也是一个连续的区间。
先一次dfs1算出每一个点的深度deep，重儿子son，子树大小size，父亲fa
再一次dfs2算出每一个点的w和top，w表示该点在线段树上的标号，top表示该点所在的重链的顶点。
void dfs1(int u){
siz[u]=;
son[u]=;
for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
int v=vet[i];
if(v!=fa[u]){
fa[v]=u;
deep[v]=deep[u]+;
dfs1(v);
siz[u]+=siz[v];
if(siz[son[u]]<siz[v])
son[u]=v;
}
}
}
void dfs2(int u,int tp){
w[u]=++num;
top[u]=tp;
if(son[u])
dfs2(son[u],tp);
for(int i=head[u];i;i=Next[i])
if(vet[i]!=fa[u]&&vet[i]!=son[u])
dfs2(vet[i],vet[i]);
}
然后构建线段树
void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
if(l==r){
rmax[u]=sum[u]=val;
return;
}
int mid=(l+r)>>;
if(i<=mid)
insert(u+u,l,mid,i,val);
else
insert(u+u+,mid+,r,i,val);
sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+];
rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+]);
}
for(int i=;i<=n+n+n+n+n;i++)
rmax[i]=-;
for(int i=;i<=n;i++){
int x;
scanf("%d",&x);
insert(,,n,w[i],x);
}
然后还有查询和修改
单点修改非常简单，直接用线段树的insert
void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
if(l==r){
rmax[u]=sum[u]=val;
return;
}
int mid=(l+r)>>;
if(i<=mid)
insert(u+u,l,mid,i,val);
else
insert(u+u+,mid+,r,i,val);
sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+];
rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+]);
}
scanf("%s",ca);
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(ca[]=='C'){
insert(,,n,w[x],y);
}
查询要分情况考虑
1、top[x]==top[y]
在同一条重链上
直接查询（x，y）区间
2、top[x]!=top[y]
向上跳一步，直到情况1
很不好解释，还是上代码
int query1(int u,int l,int r,int i,int j){
if(l==i&&r==j)
return rmax[u];
int mid=(l+r)>>;
if(j<=mid)
return query1(u+u,l,mid,i,j);
else
if(i>mid)
return query1(u+u+,mid+,r,i,j);
else
return max(query1(u+u,l,mid,i,mid),query1(u+u+,mid+,r,mid+,j));
}
int query2(int u,int l,int r,int i,int j){
if(l==i&&r==j)
return sum[u];
int mid=(l+r)>>;
if(j<=mid)
return query2(u+u,l,mid,i,j);
else
if(i>mid)
return query2(u+u+,mid+,r,i,j);
else
return query2(u+u,l,mid,i,mid)+query2(u+u+,mid+,r,mid+,j);
}
while(m--){
scanf("%s",ca);
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(ca[]=='C'){
insert(,,n,w[x],y);
}
else
if(ca[]=='Q'&&ca[]=='M'){
ans=-;
while(top[x]!=top[y]){
int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
if(deep[f1]>=deep[f2]){
if(top[x]==x)
ans=max(ans,query1(,,n,w[x],w[x]));
else
ans=max(ans,query1(,,n,w[f1]+,w[x]));
x=f1;
}
else{
if(top[y]==y)
ans=max(ans,query1(,,n,w[y],w[y]));
else
ans=max(ans,query1(,,n,w[f2]+,w[y]));
y=f2;
}
}
ans=max(ans,query1(,,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y])));
printf("%d\n",ans);
}
else{
ans=;
while(top[x]!=top[y]){
int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
if(deep[f1]>=deep[f2]){
if(top[x]==x)
ans+=query2(,,n,w[x],w[x]);
else
ans+=query2(,,n,w[f1]+,w[x]);
x=f1;
}
else{
if(top[y]==y)
ans+=query2(,,n,w[y],w[y]);
else
ans+=query2(,,n,w[f2]+,w[y]);
y=f2;
}
}
ans+=query2(,,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y]));
printf("%d\n",ans);
}
}
完整的ac代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int ans,m,n,vet[],head[],Next[],en,fa[],deep[],siz[],son[],top[],w[],num,sum[],rmax[];
char ca[];
void addedge(int u,int v){
vet[++en]=v;
Next[en]=head[u];
head[u]=en;
}
void dfs1(int u){
siz[u]=;
son[u]=;
for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
int v=vet[i];
if(v!=fa[u]){
fa[v]=u;
deep[v]=deep[u]+;
dfs1(v);
siz[u]+=siz[v];
if(siz[son[u]]<siz[v])
son[u]=v;
}
}
}
void dfs2(int u,int tp){
w[u]=++num;
top[u]=tp;
if(son[u])
dfs2(son[u],tp);
for(int i=head[u];i;i=Next[i])
if(vet[i]!=fa[u]&&vet[i]!=son[u])
dfs2(vet[i],vet[i]);
}
void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
if(l==r){
rmax[u]=sum[u]=val;
return;
}
int mid=(l+r)>>;
if(i<=mid)
insert(u+u,l,mid,i,val);
else
insert(u+u+,mid+,r,i,val);
sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+];
rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+]);
}
int query1(int u,int l,int r,int i,int j){
if(l==i&&r==j)
return rmax[u];
int mid=(l+r)>>;
if(j<=mid)
return query1(u+u,l,mid,i,j);
else
if(i>mid)
return query1(u+u+,mid+,r,i,j);
else
return max(query1(u+u,l,mid,i,mid),query1(u+u+,mid+,r,mid+,j));
}
int query2(int u,int l,int r,int i,int j){
if(l==i&&r==j)
return sum[u];
int mid=(l+r)>>;
if(j<=mid)
return query2(u+u,l,mid,i,j);
else
if(i>mid)
return query2(u+u+,mid+,r,i,j);
else
return query2(u+u,l,mid,i,mid)+query2(u+u+,mid+,r,mid+,j);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<n;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
addedge(x,y);
addedge(y,x);
}
deep[]=;
dfs1();
dfs2(,);
for(int i=;i<=n+n+n+n+n;i++)
rmax[i]=-;
for(int i=;i<=n;i++){
int x;
scanf("%d",&x);
insert(,,n,w[i],x);
}
scanf("%d",&m);
while(m--){
scanf("%s",ca);
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(ca[]=='C'){
insert(,,n,w[x],y);
}
else
if(ca[]=='Q'&&ca[]=='M'){
ans=-;
while(top[x]!=top[y]){
int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
if(deep[f1]>=deep[f2]){
if(top[x]==x)
ans=max(ans,query1(,,n,w[x],w[x]));
else
ans=max(ans,query1(,,n,w[f1]+,w[x]));
x=f1;
}
else{
if(top[y]==y)
ans=max(ans,query1(,,n,w[y],w[y]));
else
ans=max(ans,query1(,,n,w[f2]+,w[y]));
y=f2;
}
}
ans=max(ans,query1(,,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y])));
printf("%d\n",ans);
}
else{
ans=;
while(top[x]!=top[y]){
int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
if(deep[f1]>=deep[f2]){
if(top[x]==x)
ans+=query2(,,n,w[x],w[x]);
else
ans+=query2(,,n,w[f1]+,w[x]);
x=f1;
}
else{
if(top[y]==y)
ans+=query2(,,n,w[y],w[y]);
else
ans+=query2(,,n,w[f2]+,w[y]);
y=f2;
}
}
ans+=query2(,,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y]));
printf("%d\n",ans);
}
}
return ;
}