Q-Learning理论推导

假如我们小时候放学回家写作业，会获得价值为1的奖励，而如果去看电视那么会受到值为2的惩罚。

假如我们在第一时刻采取了写作业这个动作，那么我们的效益Q是1；接下来我们不会去立马进行第二个动作，而是想象在接下来采取的哪一个动作的效益Q更大，比如说我们在第二步继续采取写作业这个动作，那么效益Q是1 + 1 > 1 - 2。

所以我们把最大的值乘以一个衰减值γ，比如0.9，并且加上到达第二步时获得的奖励R：

//我们把最大的值乘以一个衰减值γ
//但是我们还未写完作业，所以奖励R为0；
//因为会获得实实在在的奖励，所以我们把以上等号右边的值作为第一步的现实值
Q(s1)现实 = R + γ * maxQ(s2)

//但是我们估计了第一步的值是1
Q(s1)估计 = 1

//所以现实和估计之间有了差距：
差距 = Q(s1)现实 - Q(s1)估计
//将这个差距乘以一个学习效率α，累加上原来的值，就可以得到一个新的值：
新Q = 老Q + α * 差距

//推导：
Q(s,a) = Q(s,a) + α((r + γ * maxQ(s',a')) - Q(s,a))

Q(s1) = r2 + γ * Q(s2)
	  = r2 + γ * (r3 + γ * Q(s3))
    ......
      = r2 + γ * r3 + γ^2 * r4 + .....γ^n-2 * rn
//Q(s1)包括之后每一步的所有奖励，但是这些奖励都在衰减，离第一步越远衰减越严重
当γ等于1时,能看到以后所有的奖励：
Q(s1) = r1 + r2 + r3 ... + rn
当γ等于0时，只能看到眼前的奖励：
Q(s1) = r2
当r从0 → 1
那么将会对远处的价值看得更清楚，逐渐变得有远见