§3 Bernoulli试验和直线上的随机游动

文章目录

• §3 Bernoulli试验和直线上的随机游动
• 1.Bernoulli 概型
• 2. Bernoulli概型中的一些分布
• 2.1 Bernoulli 分布
• 2.2 二项分布
• 2.3 几何分布
• 2.4 Pascal分布
• 3. 直线上的随机游动
• 3.1 无限制随机游动
• 3.2 两端带有吸收壁的随机游动
• 4. 推广的 Bernoulli 试验与多项分布

1.Bernoulli 概型

定义2.3.1（Bernoulli）试验

只有两种可能结果的实验被称为 Bernoulli试验。在这类问题中，我们可将事件域取为：
$\mathscr{F} = \{ \empty, A,\overline{A},\Omega\}$F={∅,A,A,Ω}
并称出现 $A$A 为“成功”，出现 $\overline{A}$A 为“失败”。

在某些情况中，试验的结果不止两个。但是，如果我们可以认为：出现且仅仅出现某一个特定的结果时认为其“成功”，其余任何结果都视为“失败”，则此时我们也可以把问题视为 Bernoulli 试验。

在 Bernoulli 试验中，首先需要给出下面概率:
$P(A) = p, \ \ P(\overline{A}) = q$P(A)=p,  P(A)=q
显然， $p,q \geqslant 0$p,q⩾0，且 $p+q = 1.$p+q=1.

现在，我们考虑重复进行 $n$n 次独立的 Bernoulli 试验。

定义2.3.2（$n$n 重Bernoulli试验）

在每次试验中事件 $A$A 和事件 $\overline{A}$A 出现的概率都保持不变。我们称这样的试验为 n重Bernoulli试验 ，记为 $E^{n}$En.

对于 $n$n 重Bernoulli试验，我们有下列的四个约定：

1. 每次试验最多出现两个可能结果之一： $A$A 或 $\overline{A}$A ；
2. $A$A 在每次实验中出现的概率 $p$p 保持不变；
3. 各次实验相互独立；
4. 总共进行 $n$n 次试验。

下面，我们给出 $n$n 重Bernoulli 试验的概率空间：

$n$n 重Bernoulli试验 $E^{n}$En 的样本点形如：
$(\hat{A}_{1},\hat{A}_{1},\cdots,\hat{A}_{n})$(A^1​,A^1​,⋯,A^n​)
其中， $\hat{A}_{i}$A^i​ 是 $A_{i}$Ai​ 或 $\overline{A}_{i}$Ai​ ，分别表示第 $i$i 次试验中出现 $A$A 或 $\overline{A}$A.显见，这样的样本点总共有 $2^{n}$2n 个，这是一个有限样本空间。
为书写方便起见，我们进行如下约定：
$(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n-1},\overline{A}_{n})$(A1​,A2​,⋯,An−1​,An​)
表示前 $n-1$n−1 次试验均出现事件 $A$A ，而第 $n$n 次试验出现事件 $\overline{A}$A，简记为
$A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1}\overline{A}_{n}.$A1​A2​⋯An−1​An​.
为给定 $n$n 重Bernoulli试验的样本点的概率，我们主要考察在它中 $A$A 或 $\overline{A}$A 出现的次数。若其中有 $l$l 个 $A$A ，从而有 $n-l$n−l 个 $\overline{A}$A ，则利用试验的独立性可知：
$P(\hat{A}_{1} \hat{A}_{1} \cdots \hat{A}_{n}) = P(\hat{A}_{1})P(\hat{A}_{2})\cdots P(\hat{A}_{n})$P(A^1​A^1​⋯A^n​)=P(A^1​)P(A^2​)⋯P(A^n​)
$=p^{l}q^{n-l}.$=plqn−l.
一般事件的概率由它所含样本点的概率求和得到。这样一来，我们已对 $n$n 重Bernnoulli试验给定了概率空间。

Bernoulli试验是一种重要的概率模型。它是“在相同条件下进行重复试验”的一种数学模型，尤其在讨论某事件出现的频率时常用这种模型。

2. Bernoulli概型中的一些分布

2.1 Bernoulli 分布

若我们只进行一次Bernoulli试验，则这种概率分布称为 Bernoulli分布，这是最简单的情况。

2.2 二项分布

我们记 $n$n 重Bernoulli试验中事件 $A$A 出现 $k$k 次的概率，记之为 $b(k;n,p):$b(k;n,p):

若以 $B_{k}$Bk​ 记 $n$n 重Bernoulli试验中事件 $A$A 恰好出现 $k$k 次这一事件，而用 $A_{i}$Ai​ 表示第 $i$i 次试验中出现事件 $A$A，以 $\overline{A}_{i}$Ai​ 表示第 $i$i 次试验中出现 $\overline{A}$A ，则
$B_{k} = A_{1}A_{2} \cdots A_{k} \overline{A}_{k+1} \cdots \overline{A}_{n} + \\ \cdots +\overline{A}_{1}\overline{A}_{2} \cdots \overline{A}_{n-k}A_{n-k+1} \cdots A_{n}.$Bk​=A1​A2​⋯Ak​Ak+1​⋯An​+⋯+A1​A2​⋯An−k​An−k+1​⋯An​.
右边的每一项表示在某 $k$k 次试验中出现事件 $A$A ，而在另外 $n-k$n−k 次实验中出现 $\overline{A}$A，这种项共有 $\binom{n}{k}$(kn​) 个，而且两两互不相容。

显见右边各项所对应事件的概率均为 $p^{k}q^{n-k}$pkqn−k ，我们利用概率的可加性即得：
$P(B_{k}) = \binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}$P(Bk​)=(kn​)pkqn−k
即:
$b(k;n,p) = \binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}, \ k = 0,1,2,\cdots,n$b(k;n,p)=(kn​)pkqn−k, k=0,1,2,⋯,n

注意到 $b(k;n,p)， \ k = 0,1,2,\cdots,n$b(k;n,p)， k=0,1,2,⋯,n 是二项式 $(q + ps)^{n}$(q+ps)n 展开式中 $s^{k}$sk 项的系数，因此上式称为 二项分布 。

特别地：
$\sum^{n}_{k=0}b(k;n,p) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} = (p+q)^{n} = 1.$k=0∑n​b(k;n,p)=k=0∑n​(kn​)pkqn−k=(p+q)n=1.

2.3 几何分布

下面, 我们讨论在 Bernoulli 试验中"首次成功"出现在第 $k$k 次试验的概率. 要使"首次成功"出现在第 $k$k 次试验时, 必须且只需在前 $k-1$k−1 次试验中均出现事件 $\overline{A}$A, 而在第 $k$k 次时出现 $A$, 因此该事件 (我们记为 $W_{k}$Wk​ ) 可表示为
$W_{k} = P(\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{2})\cdots P(\overline{A}_{k-1})P(A_{k}) = q^{k-1}p.$Wk​=P(A1​)P(A2​)⋯P(Ak−1​)P(Ak​)=qk−1p.
记
$g(k;p) = q^{k-1}p,\ \ \ \ k = 1,2,\cdots$g(k;p)=qk−1p,    k=1,2,⋯
$g(k;p)$g(k;p) 是几何级数的一般项, 故称上式为 几何分布. 此处有;
$\sum_{k = 1}^{\infty}g(k;p) = \sum_{k = 1}^{\infty}q^{k-1}p = p \frac{1}{1-q} = 1.$k=1∑∞​g(k;p)=k=1∑∞​qk−1p=p1−q1​=1.
几何分布给出了等待事件 $A$A 出现共需要试验 $k$k 次的概率. 这类概率在许多问题中都有涉及.

2.4 Pascal分布

下面, 我们讨论更为复杂的情况,也就是 Pascal 分布. 可以视其为几何分布的一种推广.

考虑 Bernoulli 试验,让我们考察要经过多长时间才会出现第 $r$r 次成功:
若第 $r$r 次成功发生在第 $\zeta$ζ 次试验,则必然有 $\zeta \geqslant r.$ζ⩾r.
下面以 $C_{k}$Ck​ 表示"第 $r$r 次成功发生在第 $k$k 次试验" 这一事件,并且记其概率为 $f(k;r,p)$f(k;r,p).

$C_{k}$Ck​ 发生当且仅当前面的 $k-1$k−1 次试验中有 $r-1$r−1 次成功, $k-r$k−r 次失败,而第 $k$k 次试验的结果为成功,这两个事件的概率分别为:$\binom{k-1}{r-1}p^{r-1}q^{k-r}$(r−1k−1​)pr−1qk−r 和 $p$p. 利用试验的独立性,得到:
$P(C_{k}) = \binom{k-1}{r-1}p^{r-1}q^{k-r} \cdot p = P(C_{k}) = \binom{k-1}{r-1}p^{r}q^{k-r}.$P(Ck​)=(r−1k−1​)pr−1qk−r⋅p=P(Ck​)=(r−1k−1​)prqk−r.
即:
$f(k;r,p) = \binom{k-1}{r-1}p^{r}q^{k-r}, \ \ \ k = r,r+1,\cdots$f(k;r,p)=(r−1k−1​)prqk−r,   k=r,r+1,⋯
注意到:
$\sum_{k = r}^{\infty}f(k;r,p) = \sum_{k =r}^{\infty}\binom{k-1}{r-1}p^{r}q^{k-r} \\ = \sum_{l = 0}^{\infty} \binom{r + l - 1}{r - 1}p^{r}q^{l} = \sum_{l = 0}^{\infty} \binom{r+l-1}{l}p^{r}q^{l} \\ = \sum_{l = 0}^{\infty}\binom{-r}{l}(-1)^{l}p^{r}q^{l} = p^{r}(1-q)^{-r} = 1.$k=r∑∞​f(k;r,p)=k=r∑∞​(r−1k−1​)prqk−r=l=0∑∞​(r−1r+l−1​)prql=l=0∑∞​(lr+l−1​)prql=l=0∑∞​(l−r​)(−1)lprql=pr(1−q)−r=1.

我们称 $f(k;r,p)$f(k;r,p) 为 Pascal分布. 特别地,当 $r = 1$r=1 时,我们得到几何分布.

3. 直线上的随机游动

定义2.3.3 (随机游动)

我们考虑位于 $x$x 轴上的一个质点,并限制它只能位于整数点. 在时刻 $t = 0$t=0 时, 它处于初始位置 $a \ \ a \in \mathbb{Z}$a  a∈Z , 以后每个单位时间他总受到某个外力的随机作用使位置发生变化,分别以概率 $p$p 和概率 $q = 1-p$q=1−p 向正方向/负方向移动一个单位.

在这个问题中, 我们所感兴趣的是质点在时刻 $t = n$t=n 时的位置. 我们称用这种方式描述的质点运动为 随机游动.

定义2.3.4(无限制随机游动和有吸收壁的随机游动)

若质点可在整个数轴的整数点上游动,则称这种随机游动为 无限制随机游动.

若在某点 $d$d 设有一个吸收壁, 质点一旦到达该点则被吸收从而不再游动, 因而游动过程结束,称这种随机游动为 在 $d$d 点有吸收壁的随机游动.

此外, 我们还可以相应地考虑带有 “反射壁” 及 “弹性壁” 的随机游动, 在一个随机游动中还可以存在不止一个壁.

当 $p = q = \frac{1}{2}$p=q=21​ 时,称这样的随机游动为 对称的, 此时质点向两方向移动的可能性相等.

在自然科学中, 我们可以将大量的问题都归结为随机游动问题. 例如: 随机游动模型可作为布朗运动的初步近似. 概率论中的一些古典问题也可引导到随机游动问题. 实际上, 随机游动可以视为 Bernoulli试验的一种描述法.

下面,我们简介随机游动的两个最简单的模型:

3.1 无限制随机游动

假定质点在时刻 $0$0 从原点出发, 以 $S_{n}$Sn​ 记它在时刻 $t = n$t=n 时的位置. 为了使质点在时刻 $t = n$t=n 时位于 $k$k ($k$k 也可以是负整数), 质点必须而且只需在前 $n$n 次游动中向右游动的次数比向左游动的次数多 $k$k 次.

若以 $x$x 记它在前 $n$n 次游动中向右游动的次数, $y$y 记向左游动的次数,则
$\begin{cases} x + y = n \\ x - y = k\end{cases}${x+y=nx−y=k​
即 $x = \frac{n+k}{2}$x=2n+k​, 因为 $x$x 是整数, 故 $k$k 必须和 $n$n 具有相同的奇偶性.

事件 $\{S_{n} = k\}${Sn​=k} 发生相当要求在前 $n$n 次游动中有 $\frac{n+k}{2}$2n+k​ 次向右, $\frac{n-k}{2}$2n−k​ 次向左. 利用二项分布即得:
$P\{S_{n} = k\} = \binom{n}{\frac{n+k}{2}}q^{\frac{n-k}{2}}p^{\frac{n+k}{2}}.$P{Sn​=k}=(2n+k​n​)q2n−k​p2n+k​.
当 $k$k 和 $n$n 奇偶性相反时, 概率为 $0.$0.

3.2 两端带有吸收壁的随机游动

假定质点在时刻 $t = 0$t=0 时, 位于 $x = a$x=a, 而在 $x = 0$x=0 和 $x = a+b$x=a+b 处各有一个吸收壁,我们求质点在 $x = 0$x=0 被吸收或在 $x = a+b$x=a+b 被吸收的概率. 使用的是差分方程法:

4. 推广的 Bernoulli 试验与多项分布

二项分布可以被很容易地推广到 $n$n 次重复独立试验且每次试验可能有若干个结果的情形. 将每次试验的可能结果记为 $A_{1},A_{2},\cdots, A_{r}$A1​,A2​,⋯,Ar​, 而 $P(A_{i}) = p_{i},\ i = 1,2,\cdots,r,$P(Ai​)=pi​, i=1,2,⋯,r, 且
$p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{r} = 1, \ \ p_{i} \geqslant 0.$p1​+p2​+⋯+pr​=1,  pi​⩾0.
当 $r = 2$r=2 时, 我们即得到 Bernoulli 试验.

在这种推广的 Bernoulli 试验中,不难推出在 $n$n 次试验中 $A_{i}$Ai​ 出现 $k_{i}$ki​ 次 ($i = 1,2,\cdots,r$i=1,2,⋯,r) 的概率为;
$\frac{n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}.$k1​!k2​!⋯kr​!n!​p1k1​​p2k2​​⋯prkr​​.
此处 $k_{i} \geqslant 0$ki​⩾0, 且 $k_{1} + k_{2} + \cdots +k_{r} = n.$k1​+k2​+⋯+kr​=n.
上式称为 多项分布, 因其为$(p_{1} + p_{2} + \cdots +p_{r})^{n}$(p1​+p2​+⋯+pr​)n 展开式的一般项,且知:
$\sum_{k_{i} \geqslant 0 \ \ \ k_{1} + k{2} + \cdots + k{r} = 1} \frac{n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}.$ki​⩾0   k1​+k2+⋯+kr=1∑​k1​!k2​!⋯kr​!n!​p1k1​​p2k2​​⋯prkr​​.
显然,多项分布是二项分布的推广, 二项分布的许多结论均和多项分布的场合平行. 以后, 我们只详细讨论二项分布的有关问题.

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