POJ1151Atlantis 矩形面积并 扫描线 线段树

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题意概括

  给出n个矩形,求他们的面积并。

  n<=100


题解

  数据范围极小。

  我们分3种算法逐步优化。

  算法1: O(n3)

  如果这n个矩形的坐标都是整数,而且比较小,那么我们显然可以用最暴力的方法:一个一个打标记。

  但是不是这样的。

  坐标大小很大,而且是实数。

  然而我们发现差不多,只要先离散化一下,然后再打标记即可。

  算法2:O(n2)

  实际上,上面的方法十分慢。如果n的范围到了1000,上面的就无济于事了。

  而实际上,基于上面的打标记的算法,我们可以通过差分的方法n2解决。

  我们通过差分,可以用n2的时间标记,n2的时间判断每一个区域是否被覆盖。

  空间复杂度O(n2)

  算法3:O(n logn) 扫描线

  实际上,这类问题的数据范围可以到100000这个级别。

  矩形面积并可以用扫描线算法来解决。先看原理,后面讲具体实现。

  比如下图:

  POJ1151Atlantis 矩形面积并  扫描线  线段树

  当前我们的扫描线到达了淡黄色部分。

  由于之前没有记录,所以答案不增加。

  然而我们记下当前横向覆盖的长度。

POJ1151Atlantis 矩形面积并  扫描线  线段树

  然后我们到了第二条扫描线,加上原来记录的横向覆盖长度乘以增加的高度就是当前增加的答案。

  然后,我们更新了横向覆盖的长度。

  继续。

  POJ1151Atlantis 矩形面积并  扫描线  线段树

  然后第三条。现在的横向覆盖长度是两边加起来,所以增加的面积是两块了。

  然后更新横向覆盖的长度,加上了中间的那一条。

  然后继续。

  POJ1151Atlantis 矩形面积并  扫描线  线段树

  现在有这么长的一条都是被横向覆盖的了。

  所以新增的面积是浅蓝色部分。

  然后我们发现左上那条线是出边,所以要删除这一条线。

  所以横向覆盖的长度为如下:

  POJ1151Atlantis 矩形面积并  扫描线  线段树

  同理,接下来是:

  POJ1151Atlantis 矩形面积并  扫描线  线段树

  然后就OK了。

  

  那么具体怎么实现呢?

  我们开一棵线段树来维护!

  在读入之后,我们把所有的横线都拆开,分成下边和上边两类。某一区间在进入下边的时候+1,离开上边的时候-1,所以我们分别给上下边标记+1和-1。

  对于Y,我们离散化一下。

  对于X,我们按照边的X排一个序。

  然后按照刚才那样的处理。

  具体如何维护详见代码。


代码

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=+,M=N*;
const double Eps=1e-;
int T=,n,m,tot_Y,tot_s;
double Y[M];
struct Segment{
double x,L,R;
int v;
void set(double x_,double L_,double R_,int v_){
x=x_,L=L_,R=R_,v=v_;
}
}s[M];
struct SegTree{
int cnt;
double sum;
}t[M*];
bool cmp_s(Segment a,Segment b){
return a.x<b.x;
}
void build(int rt,int le,int ri){
t[rt].cnt=;
t[rt].sum=;
if (le==ri)
return;
int mid=(le+ri)>>,ls=rt<<,rs=ls|;
build(ls,le,mid);
build(rs,mid+,ri);
}
void pushup(int rt,int le,int ri){
int ls=rt<<,rs=ls|;
if (t[rt].cnt)
t[rt].sum=Y[ri+]-Y[le];
else if (le==ri)
t[rt].sum=;
else
t[rt].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;
}
void update(int rt,int le,int ri,int xle,int xri,int d){
if (le>xri||ri<xle)
return;
if (xle<=le&&ri<=xri){
t[rt].cnt+=d;
pushup(rt,le,ri);
return;
}
int mid=(le+ri)>>,ls=rt<<,rs=ls|;
update(ls,le,mid,xle,xri,d);
update(rs,mid+,ri,xle,xri,d);
pushup(rt,le,ri);
}
int find_double(double x){
int le=,ri=m,mid;
while (le<=ri){
mid=(le+ri)>>;
if (abs(x-Y[mid])<Eps)
return mid;
if (Y[mid]<x)
le=mid+;
else
ri=mid-;
}
}
int main(){
while (scanf("%d",&n)&&n){
tot_Y=tot_s=;
for (int i=;i<=n;i++){
double xA,yA,xB,yB;
scanf("%lf%lf%lf%lf",&xA,&yA,&xB,&yB);
if (yB-yA<Eps||xB-xA<Eps)
continue;
Y[++tot_Y]=yA,Y[++tot_Y]=yB;
s[++tot_s].set(xA,yA,yB,);
s[++tot_s].set(xB,yA,yB,-);
}
sort(Y+,Y+tot_Y+);
sort(s+,s+tot_s+,cmp_s);
m=;
for (int i=;i<=tot_Y;i++)
if (Y[i]-Y[i-]>Eps)
Y[++m]=Y[i];
build(,,m);
double ans=;
for (int i=;i<=tot_s;i++){
ans=ans+(s[i].x-s[i-].x)*t[].sum;
int L=find_double(s[i].L);
int R=find_double(s[i].R);
update(,,m,L,R-,s[i].v);
}
printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2lf\n\n",++T,ans);
}
return ;
}
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