2021.10.05PM

	预期	实际
A	100	100
B	0	0
C	10	0
S	110	100

数学自信爆零人

A [HNOI2011] 数学作业 \(\blacktriangle\!\blacktriangledown\)

1. 属于是非常离谱一道题。
2. 从数据范围看出两点：要开unsigned long long，要 \(O(\log n)\) 的算法。
3. 而每个数之间是有一定递推关系的。对于K位数的情况（一位数，两位数···），显然有 \(A_{i+1}=A_i*10^{k}+i+1\)，而联想到对时间的要求那就得用矩阵乘法快速幂了。从递推关系式能找到初始矩阵：

\[\begin{bmatrix} A_0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

4. 再通过矩阵乘法性质，能得到转移方程。

\[\begin{bmatrix} 10^k & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

5. 这道题最离谱的地方就是这个 k，我们对于不同的位数要用不同的转移矩阵，得到一个总的转移矩阵（总转移矩阵要放在乘号右边）。
6. 由由于初始矩阵矩阵前两项都是0，所以输出答案只需要输出总转移举证第一列第三行的数即可。记得取模。

B [HNOI2011]勾股定理 \(\blacktriangle\!\blacktriangledown\!\blacktriangle\)

1. 昨天的 \(a*b \mod 12=0 和 a*b*c \mod 50 = 0\) 用通式分类讨论 \(m,n\) 的取值情况就容易得出。
2. 通式推导过程：

\[\begin {aligned} a^2+b^2 & =c^2 \\ a^2 &=(c-b)(c+b) \\ 设&k=c-b\\ a^2&=k(k+2*b)\\ b&=\frac {a^2-k^2}{2k} \\ c&= \frac {a^2+k^2}{2k}\\ \end{aligned} \]

\[\begin {aligned} a^2+b^2& =c^2 \\ a^2+\frac {(a^2-k^2)^2}{4k^2}&=\frac {(a^2+k^2)^2}{4k^2}\\ 4k^2a^2+(a^2-k^2)^2&=(a^2+k^2)^2 \\ 4m^2n^2+(m^2-n^2)^2&=(m^2+n^2)^2\\ \end {aligned} \]

3. 由于要求互质，那首先有$ \gcd(m,n)=0 $，其次有 \(n,m\) 奇偶性不同（如果奇偶相同，则 \(m^2-n^2\) 为偶数，显然不互质）

4. 判断是否有互质的勾股数，枚举m和n，找到 \(1000000\) 以内的互质勾股数，出现矛盾关系就建边。找互质勾股数时间复杂度不会太高，大概是\(O(n\log n)\)。

5. 接下来就是跑\(树形DP\) 吗？

6. 并不见得，因为可能会有环，并且可能有环共用同一个点。（不可能是同一条边，因为不存在两个直角三角形两直角边相同而斜边不同），所以这是棵仙人掌，并且由于图会是很多个连通块，所以其实是沙漠图····。

7. 而这显然是个NP问题，只能猜测数据比较良心····

8. 仙人掌DP也没有什么办法，只能找到环后拆开强行设两端的状态进行DFS，连通块内所有矛盾点设完状态确认未出现矛盾两端同时选上后树形DP。

9. 转移方程（1代表选，0代表不选）：

   \[dp[fa][0]=\prod dp[son_i][0]+dp[son_i][1]\\ dp[fa][1]=2^{v[fa]-1}\prod dp[son_i][0]\\ 若fa被强制设了状态\\ sit[0]\to dp[fa][0]=1,dp[fa][1]=0\\ sit[1]\to dp[fa][0]=0,dp[fa][1]=2^{v[fa]-1} \]

10. 对于每个连通块内不同DFS的情况答案进行累加。（对象没变，状态变了），对于不同连通块进行累乘。（不同对象）最后要除去全不选的情况。

C XOR和路径 \(\blacktriangle\!\blacktriangledown\!\blacktriangle\)

1. 这次考试离谱在后面两道题都对主要算法进行了隐藏。B看着像数学，实际上主体是树形DP；再像这道看着像数学，实际上主体是数学·····
2. 由于我太蒟了，期望题做到只能摆烂，特别是这种自己可以到自己的，更是懵得一批，然而对于这种非常难处理的题，可以设立方程组解方程。
3. 由于期望的是异或和，那我们可以把它每一个二进制位分别拆开分别算。
4. 那我们便可以得到这样一个方程（f[x] 表示x的第 k 位为1的概率：

\[f[x]*deg[x]=\sum_{edge.w=0}f[i]+\sum_{edge.w=1}(1-f[j])\\ f[x]*deg[x]-\sum_{edge.w=0}f[i]+\sum_{edge.w=1}f[j]=\sum_{edge.w=1}1 \]

5. 像这样的式子有n个，而有n个元，显然肯定有解。

D 总结

1. 这次考试其实不应该只拿第一道的分，后面两道只打暴力。而且没有认真读题也是一个大问题，导致 B 建模失败呜呜呜·····

\(\cal {Made} \ {by} \ {YuGe}\)