布莱克曼阻抗公式的推导

以下内容参考《Analysis And Design of Analog Integrated Circuits,5E》 8.8.2

布莱克曼阻抗公式的推导

上图为运放的反馈网络,其中Sic是受控源的输入信号,k是受控源的增益,Sy是受控源输出信号。输入阻抗Zport=Vx/ix,下面就来计算这个输入阻抗。

假设Vx和Sic是ix和Sy的线性函数,可以列出如下的方程:

Vx=a1*ix+a2*Sy

Sic=a3*ix+a4*Sy

这时,假设受控源的增益k=0,Sy=k*Sic=0,Sy=0时,Vx=a1*ix,这时推导出:

Zport(k=0)=Vx/ix=a1

如果改为电流源输入,如下图所示:

布莱克曼阻抗公式的推导

如果这时,输入开路,即ix=0,此时Sic= a4*Sy。

保持输入端开路,断开受控源,接入测试源:

布莱克曼阻抗公式的推导

此时,Sic=a4*Sy=a4*St,Sr=k*Sic,进而可以得到Sr=k*a4*St,

定义输入端口开路的反馈比为:

Return Ration(Port Open)=-Sr/St(简记作RRO)

代入计算有RRO=-Sr/St=-k*a4。

保持受控源断开状态下,令输入短路,如下图所示:

布莱克曼阻抗公式的推导

当输入短路时,Vx=0,Sy=St,所以Vx=a1*ix+a2*Sy=a1*ix+a2*St=0,进而可以求出:Ix=-a2*St/a1。Sic=a3*ix+a4*Sy=a3*(-a2*St/a1)+a4*St,整理有:Sic=(a4-a2*a3/a1)*St。

定义输入端口短路的反馈比为:

Return Ration(Port Short)=-Sr/St(简记作RRS)

又Sr=k*Sic,代入计算有RRS=-Sr/St=-k(a4-a2*a3/a1)

再回到最初的那个公式:

Zport=Vx/ix

而Zport=(a1*ix+a2*k*Sic)/ix, Sic=a3*ix+a4*k*Sic,即Sic=a3*ix/(1-a4*k),代入有:

Zport=a1*[1-k*(a4-a2*a3/a1)]/(1-k*a4)

而前面计算过:

RRS=-Sr/St=-k(a4-a2*a3/a1)

RRO=-Sr/St=-k*a4

Zport(k=0) =a1

所以:

Zport= Zport(k=0)*(1+RRS)/(1+RRO)

这样就得到了布莱克曼阻抗公式。如果Zport=R,Zport(k=0)=Ro,RRS=Tsc,RRO=Toc,也可以得到另外一种更常见的形式:

R= Ro*(1+Tsc)/(1+Toc)

 

布莱克曼阻抗公式的推导

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