学习一个点到其余各个顶点的最短路径——单源最短路径
Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。
迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
算法的基本思想：
每次找到离源点最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。
算法基本步骤如下：
1.将所有顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。用一个book数组来记录哪些点 在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[i]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[i]为0则表示这个顶在集合Q中。
2.设置源点s到自己的最短路径为0即dis[s]=0。若存在有源点能直接到达的顶点i，则把dis[i]设为e[s][i]。同时把所有其他（源点不能直接到达）顶点的最短路径设为无穷。
3.在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u-->v添加到尾部来扩展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。
4.重复第三步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。
应用：求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径
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e |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
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1 |
0 |
1 |
12 |
-- |
-- |
-- |
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2 |
-- |
0 |
9 |
3 |
-- |
-- |
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3 |
-- |
-- |
0 |
-- |
5 |
-- |
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4 |
-- |
-- |
4 |
0 |
13 |
15 |
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5 |
-- |
-- |
-- |
-- |
0 |
4 |
|
6 |
-- |
-- |
-- |
-- |
-- |
-- |
这里用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如上图。
还需要一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各顶点的初始路程。
第一步：初始化dis数组
第二步：找到了离1号最近的点2号，2号有两条边2->3和2->4。dis[2]+e[2][3]<dis[3]，更新dis[3]；dis[4]>dis[2]+e[2][4]，更新dis[4]。
第三步：当前离1号最近的是4号，对4号的三条边4->3,4->5,4->6进行松弛，更新dis数组。
第四步：继续在3、5和6号中选择离1号最近的顶点，选择3号，对3号的所有出边3->5进行松弛，更新dis数组。
第五步：在剩下的5和6号中选择离1号最近的顶点，选择5号，对5号的所有出边5->6进行松弛，更新dis数组。
第六步：显然6号没有出边，所以dis数组中的所有值已经从“估计值”变成了“确定值”。
实现代码如下：
#include <stdio.h> int main()
{
int i, j, m, n;
int q1, q2, q3;
int u, v, min;
int e[][], dis[], book[];
int inf = ;//用inf表示我们认为的无穷值 scanf_s("%d %d", &n, &m);//读入n，m，n表示顶点个数，m表示边的条数
//初始化
for (i = ; i <= n; ++i)
{
for (j = ; j <= n; ++j)
{
if (i == j)
{
e[i][j] = ;
}
else
{
e[i][j] = inf;
}
}
} //读入边
for (i = ; i <= m; ++i)
{
scanf_s("%d %d %d", &q1, &q2, &q3);
e[q1][q2] = q3;//有向图
} //初始化dis数组，这里是1号顶点到其余各顶点的初始路程
for (i = ; i <= n; ++i)
{
dis[i] = e[][i];
} //book、数组初始化
for (i = ; i <= n; i++)
book[i] = ;
book[] = ;
// Dijkstra 算法核心
for (i = ; i < n; ++i) // 计算n-1次
{
//找到离1号顶点最近的顶点
min = inf;
for (j = ; j <= n; ++j)
{
if (dis[j] < min && book[j] == )
{
min = dis[j];
u = j; //u为最近的点
}
}
book[u] = ; //对u的所有出边进行“松弛”
for (v = ; v <= n; ++v)
{
if (e[u][v] != inf && dis[v] > dis[u] + e[u][v])
{
dis[v] = dis[u] + e[u][v]; //这个过程就是"松弛"
}
}
} printf("结果为：\n");
//输出最终的结果
for (i = ; i <= n; ++i)
{
printf(" 1号顶点到%d号顶点的最短距离为：%d\n",i, dis[i]);
}
printf("\n"); getchar();
getchar();
return ;
}
调试结果如下图：