1 矩阵和方程组

1.4 矩阵代数

2 行列式

2.2 行列式的性质

引理 2.2.1

令\(A\)为一\(n\times n\)矩阵。若 \(A_{jk}\) 表示 \(a_{jk}\) 的余子式，其中\(k=1,\cdots,n\)，则

\[a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=\begin{cases} \det(A) &i=j \\ 0 &i\ne j \end{cases} \]

---

证明：若\(i\ne j\)，将\(A\)的第\(j\)行替换为第\(i\)行，按照第\(j\)行展开即证。

2.3

矩阵的伴随

令\(A^*=\operatorname{adj}A\)，则\(A^*_{ij}=A_{ji}\)，即\(A^*\)为\(A\)的余子式矩阵的转置。

由引理2.2.1，有\(\sum_k a_{ik}A^*_{kj}=[i=j]\det(A)\)，故

\[AA^*=|A|I \]