下面是从2020年c班集训学到的线代知识
行列式
定义
由
n
2
n^2
n2 个元素构成的
n
n
n 阶行列式为
∣
a
i
j
∣
n
|a_{ij}|_n
∣aij∣n =
∣
a
11
.
.
.
a
1
n
.
.
.
a
n
1
.
.
.
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11}&...&a_{1n} \\ &...\\ a_{n1}&...&a_{nn} \end{vmatrix}
∣∣∣∣∣∣a11an1.........a1nann∣∣∣∣∣∣
行列式的值
∑
j
1
j
2
.
.
.
j
n
(
−
1
)
r
(
j
1
j
2
.
.
.
j
n
)
a
1
j
1
a
2
j
2
.
.
.
a
n
j
n
\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}
j1j2...jn∑(−1)r(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn
-
其中 j 1 j 2 . . . j n j_1j_2...j_n j1j2...jn 是 1... n 1...n 1...n 的一个排列
-
r ( j 1 j 2 . . . j n ) r(j_1j_2...j_n) r(j1j2...jn) 是 排列的逆序对个数
转置行列式
设 n n n 阶行列式为 D = ∣ a i j ∣ n D=|a_{ij}|_n D=∣aij∣n 则称行列式 D T = ∣ a j i ∣ n D^T=|a_{ji}|_n DT=∣aji∣n 为 D D D 的转置行列式
性质
性质1.
D T = D D^T=D DT=D
证明：
设
D
T
D^T
DT中的元素为
b
i
j
b_{ij}
bij由定义可得
b
i
j
=
a
j
i
b_{ij}=a_{ji}
bij=aji
新的行列式的值为
∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) b 1 j 1 b 1 j 2 . . . b 1 j n = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a j 1 1 a j 2 2 . . . a j n n \sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}b_{1j_1}b_{1j_2}...b_{1j_n}\\ =\sum\limits_{j_1j_2...j_n} (-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{j_11}a_{j_22}...a_{j_nn} j1j2...jn∑(−1)r(j1j2...jn)b1j1b1j2...b1jn=j1j2...jn∑(−1)r(j1j2...jn)aj11aj22...ajnn
因为
j
1
j
2
.
.
.
j
n
j_1j_2...j_n
j1j2...jn 是
1...
n
1...n
1...n 的一个排列
所以可以将
∑
j
1
j
2
.
.
.
j
n
(
−
1
)
r
(
j
1
j
2
.
.
.
j
n
)
a
j
1
1
a
j
2
2
.
.
.
a
j
n
n
\sum\limits_{j_1j_2...j_n} (-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{j_11}a_{j_22}...a_{j_nn}
j1j2...jn∑(−1)r(j1j2...jn)aj11aj22...ajnn
中的
a
j
i
{a_{ji}}
aji 将
j
i
j_i
ji按实际大小从
1
1
1 到
n
n
n排序
则原先的
1...
n
1...n
1...n变为一个排序，答案不变
证毕
性质2.
交换行列式中的任意两行得到 D 1 D_1 D1 则 D 1 D_1 D1= − D -D −D
证明：
设交换的两行为
x
,
y
x,y
x,y设在计算时 选取到他们的列为
a
,
b
a,b
a,b
则
D
=
∑
j
1
j
2
.
.
.
j
n
(
−
1
)
r
(
x
y
.
.
.
j
n
)
a
a
x
a
b
y
.
.
.
a
n
j
n
D=\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(xy...j_n)}a_{ax}a_{by}...a_{nj_n}
D=j1j2...jn∑(−1)r(xy...jn)aaxaby...anjn
交换后变为
(x,y是相对于原位置而言)
D
1
=
∑
j
1
j
2
.
.
.
j
n
(
−
1
)
r
(
y
x
.
.
.
j
n
)
a
a
y
a
b
x
.
.
.
a
n
j
n
D_1=\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(yx...j_n)}a_{ay}a_{bx}...a_{nj_n}
D1=j1j2...jn∑(−1)r(yx...jn)aayabx...anjn
（因为x，y行发生交换 所以原先的
a
a
x
=
a_{ax}=
aax=现在的
a
a
y
a_{ay}
aay）
所以我们发现 后面的的乘积是不会变化的 只有排列中两个数的位置交换，导致逆序对数发生了变化。
而一个排列中 两个数位置的交换必然导致逆序对个数奇偶性变化
证明：对于
x
a
.
.
.
.
.
b
y
xa.....by
xa.....by假设
a
,
b
a,b
a,b 之间间隔
m
m
m 个元素
（
x
,
y
x,y
x,y作为参考标识使用）
x . . . . . a b y x.....aby x.....aby需要交换 m 个元素
x b . . . . . a y xb.....ay xb.....ay 需要交换 m+1 个元素
相邻两个元素之间交换 逆序对奇偶性必然改变
所以发生（2m+1）次交换 新序列逆序对奇偶性改变
证毕
因此 对于 D 1 D_1 D1 每一个 ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) (-1)^{r(j_1j_2...j_n)} (−1)r(j1j2...jn)都与 D D D的 ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) (-1)^{r(j_1j_2...j_n)} (−1)r(j1j2...jn)互为相反数 而 a a a 的乘积对应相等
证得 D 1 D_1 D1= − D -D −D
证毕
合理外推的话 应该发生奇数次交换
D
1
D_1
D1=
−
D
-D
−D
发生偶数次交换
D
1
D_1
D1=
D
D
D
性质3.
行列式中的某一行都乘上k 得到的答案是原来的k倍
证明：
D = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( x y . . . j n ) a a x a b y . . . a n j n D=\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(xy...j_n)}a_{ax}a_{by}...a_{nj_n} D=j1j2...jn∑(−1)r(xy...jn)aaxaby...anjn
设改变的一行为 c c c 则每次都会选中 c c c 中的一项，乘积变为原来的 k k k倍
证毕
性质4.
对于只有行 a a a 和 D D D不同的行列式 D 1 D_1 D1
D D D+ D 1 D_1 D1可以转换为新行列式 D 2 D_2 D2
设 D , D 1 D,D_1 D,D1 中的元素分别为 x , y x,y x,y
该行列式中 除 a a a 行外所有元素与 D ( D 1 ) D(D_1) D(D1) 中一模一样，而 a a a行里的元素 为 x a i + y a i x_{ai}+y_{ai} xai+yai
证明：
由加法结合律可得
∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 x . . . a n j n + ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 y . . . a n j n = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ( x + y ) . . . a n j n \sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}x...a_{nj_n}+\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}y...a_{nj_n}\\ =\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}(x+y)...a_{nj_n} j1j2...jn∑(−1)r(j1j2...jn)a1j1a2j2x...anjn+j1j2...jn∑(−1)r(j1j2...jn)a1j1a2j2y...anjn=j1j2...jn∑(−1)r(j1j2...jn)a1j1a2j2(x+y)...anjn
证毕
性质5.
对于一个矩阵 D 1 D_1 D1 ，若该矩阵的两行相同，或其中一行是另一行的倍数，则该矩阵的值是0
证明：
设行 j j j 是行 i i i 的 k k k倍
由性质4 可将这个 k 倍提出，变成 k k k 个有 i , j i,j i,j两行相同的矩阵相加。
由性质2 交换这两列得到的
D
2
=
−
D
1
D_2=-D_1
D2=−D1
而且 由定义知
D
2
=
D
1
D_2=D_1
D2=D1（这两行相同，交换前后行列式相同）
得 D 1 = − D 1 D_1=-D_1 D1=−D1 则 D 1 = 0 D_1=0 D1=0
证毕
性质6.
将行列式中的某一行加上另一行的 k k k 倍，行列式的值不变
由性质4 可将变化后的矩形拆成 D 1 = D + D 2 D_1=D+D_2 D1=D+D2，其中 D D D是原矩形, D 2 D_2 D2是有一行是另一行 k k k 倍的矩形
由性质5得 D 2 = 0 D_2=0 D2=0
故 D 1 = D D_1=D D1=D
证毕