1.长短期记忆网络LSTM

LSTM(Long short-term memory)通过刻意的设计来避免长期依赖问题，是一种特殊的RNN。长时间记住信息实际上是 LSTM 的默认行为，而不是需要努力学习的东西！

所有递归神经网络都具有神经网络的链式重复模块。在标准的RNN中，这个重复模块具有非常简单的结构，例如只有单个tanh层，如下图所示。
[外链图片转存失败(img-EwKxtSFp-1569051242265)(./images/lstm-rnn.jpg)]
LSTM具有同样的结构，但是重复的模块拥有不同的结构，如下图所示。与RNN的单一神经网络层不同，这里有四个网络层，并且以一种非常特殊的方式进行交互。

1.1 LSTM–遗忘门

LSTM 的第一步要决定从细胞状态中舍弃哪些信息。这一决定由所谓“遗忘门层”的 S 形网络层做出。它接收 $h_{t-1}$ht−1​ 和 $x_t$xt​，并且对细胞状态 $C_{t−1}$Ct−1​ 中的每一个数来说输出值都介于 0 和 1 之间。1 表示“完全接受这个”，0 表示“完全忽略这个”。

1.2 LSTM–输入门

下一步就是要确定需要在细胞状态中保存哪些新信息。这里分成两部分。第一部分，一个所谓“输入门层”的 S 形网络层确定哪些信息需要更新。第二部分，一个 tanh 形网络层创建一个新的备选值向量—— $\tilde{C}_t$C~t​，可以用来添加到细胞状态。在下一步中我们将上面的两部分结合起来，产生对状态的更新。

1.3 LSTM–细胞状态更新

现在更新旧的细胞状态 $C_{t−1}$Ct−1​ 更新到 $C_t$Ct​。先前的步骤已经决定要做什么，我们只需要照做就好。
我们对旧的状态乘以 $f_t$ft​，用来忘记我们决定忘记的事。然后我们加上 $i_t\odot\tilde{C}_t$it​⊙C~t​，这是新的候选值，根据我们对每个状态决定的更新值按比例进行缩放。

1.4 LSTM–输出门

最后，我们需要确定输出值。输出依赖于我们的细胞状态，但会是一个“过滤的”版本。首先我们运行 S 形网络层，用来确定细胞状态中的哪些部分可以输出。然后，我们把细胞状态输入 tanh（把数值调整到 −1 和 1 之间）再和 S 形网络层的输出值相乘，部这样我们就可以输出想要输出的分。

1.5 LSTM的变种

目前我所描述的还只是一个相当一般化的 LSTM 网络。但并非所有 LSTM 网络都和之前描述的一样。事实上，几乎所有文章都会改进 LSTM 网络得到一个特定版本。差别是次要的，但有必要认识一下这些变种。

（1） 一个流行的 LSTM 变种由 Gers 和 Schmidhuber 提出，在 LSTM 的基础上添加了一个“窥视孔连接”，这意味着我们可以让门网络层输入细胞状态。

上图中我们为所有门添加窥视孔，但许多论文只为部分门添加.

（2）另一个变种把遗忘和输入门结合起来。同时确定要遗忘的信息和要添加的新信息，而不再是分开确定。当输入的时候才会遗忘，当遗忘旧信息的时候才会输入新数据。

（3）一个更有意思的 LSTM 变种称为 Gated Recurrent Unit（GRU），由 Cho 等人提出。GRU 把遗忘门和输入门合并成为一个“更新门”，把细胞状态和隐含状态合并，还有其他变化。这样做使得 GRU 比标准的 LSTM 模型更简单，因此正在变得流行起来。

2.LSTM前向传播与反向传播

本小节只推导添加“窥视孔连接”的变种LSTM，如下图所示，其它LSTM变种的推导方法与该方法类似，这里不做过多介绍。对反向传播算法了解不够透彻的，请参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/79657669 ，这里有详细的推导过程，本文将直接使用https://zhuanlan.zhihu.com/p/79657669的结论。

为了更直观的推导反向传播算法，将其转化为右图所示形式。

2.1 LSTM前向传播

LSTM在t时刻的前向传播公式为：
$\left\{ \begin{array}{l} {i_t=\sigma(\tilde{i}_t)=\sigma(W_{xi}x_t+W_{hi}h_{t-1}+W_{ci}c_{t-1}+b_i)} \\ {f_t=\sigma(\tilde{f}_t)=\sigma(W_{xf}x_t+W_{hf}h_{t-1}+W_{cf}c_{t-1}+b_f) }\\ {g_t=\tanh(\tilde{g}_t)=\tanh(W_{xg}x_t+W_{hg}h_{t-1}+b_g)} \\ {o_t=\sigma(\tilde{o}_t)=\sigma(W_{xo}x_t+W_{ho}h_{t-1}+W_{co}c_{t}+b_o) }\\ {c_t=c_{t-1}\odot f_t+g_t\odot i_t}\\ {m_t=\tanh(c_t)}\\ {h_t=o_t\odot m_t}\\ {y_t=W_{yh}h_t+b_y} \end{array}\right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​it​=σ(i~t​)=σ(Wxi​xt​+Whi​ht−1​+Wci​ct−1​+bi​)ft​=σ(f~​t​)=σ(Wxf​xt​+Whf​ht−1​+Wcf​ct−1​+bf​)gt​=tanh(g~​t​)=tanh(Wxg​xt​+Whg​ht−1​+bg​)ot​=σ(o~t​)=σ(Wxo​xt​+Who​ht−1​+Wco​ct​+bo​)ct​=ct−1​⊙ft​+gt​⊙it​mt​=tanh(ct​)ht​=ot​⊙mt​yt​=Wyh​ht​+by​​

2.2 LSTM反向传播

已知：$\frac{\partial J}{\partial y_t},\frac{\partial J}{\partial c_{t+1}},\frac{\partial J}{\partial \tilde{o}_{t+1}},,\frac{\partial J}{\partial \tilde{f}_{t+1}},\frac{\partial J}{\partial \tilde{i}_{t+1}},\frac{\partial J}{\partial \tilde{g}_{t+1}}$∂yt​∂J​,∂ct+1​∂J​,∂o~t+1​∂J​,,∂f~​t+1​∂J​,∂i~t+1​∂J​,∂g~​t+1​∂J​,求某个节点梯度时，首先应该找到该节点的输出节点，然后分别计算所有输出节点的梯度乘以输出节点对该节点的梯度，最后相加即可得到该节点的梯度。如计算$\frac{\partial J}{\partial h_t}$∂ht​∂J​时，找到$h_t$ht​节点的所有输出节点$y_t、 \tilde{o}_{t+1}、\tilde{f}_{t+1}、\tilde{i}_{t+1}、\tilde{g}_{t+1}$yt​、o~t+1​、f~​t+1​、i~t+1​、g~​t+1​，然后分别计算输出节点的梯度(如$\frac{\partial J}{\partial y_t}$∂yt​∂J​)与输出节点对$h_t$ht​的梯度的乘积（如$\frac{\partial J}{\partial y_t}W_{yh}^T$∂yt​∂J​WyhT​），最后相加即可得到节点$h_t$ht​的梯度:
$\frac{\partial J}{\partial h_t}=\frac{\partial J}{\partial y_t}W_{yh}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{o}_{t+1}}W_{ho}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{f}_{t+1}}W_{hf}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{i}_{t+1}}W_{hi}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{g}_{t+1}}W_{hg}^T$∂ht​∂J​=∂yt​∂J​WyhT​+∂o~t+1​∂J​WhoT​+∂f~​t+1​∂J​WhfT​+∂i~t+1​∂J​WhiT​+∂g~​t+1​∂J​WhgT​
同理可得t时刻其它节点的梯度：
$\left \{\begin{array}{l} \frac{\partial J}{\partial h_t}=\frac{\partial J}{\partial y_t}W_{yh}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{o}_{t+1}}W_{ho}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{f}_{t+1}}W_{hf}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{i}_{t+1}}W_{hi}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{g}_{t+1}}W_{hg}^T \\ \\ \frac{\partial J}{\partial m_t} = \frac{\partial J}{\partial h_t} \odot o_t \\ \\ \frac{\partial J}{\partial c_t} = \frac{\partial J}{\partial m_t}\frac{dm_t}{dc_t}+ \frac{\partial J}{\partial c_{t+1}}\odot f_{t+1} +\frac{\partial J}{\partial \tilde{f}_{t+1}}W_{cf}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{i}_{t+1}}W_{ci}^T \\ \\ \left. \begin{array}{l} \frac{\partial J}{\partial g_t} = \frac{\partial J}{\partial c_t}\odot i_t \\ \frac{\partial J}{\partial i_t} = \frac{\partial J}{\partial c_t} \odot g_t \\ \frac{\partial J}{\partial f_t} = \frac{\partial J}{\partial c_t} \odot c_{t-1} \\ \frac{\partial J}{\partial o_t} = \frac{\partial J}{\partial h_t} \odot m_t \end{array} \right \} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial J}{\partial \tilde{g}_t} = \frac{\partial J}{\partial g_t}(1-g_t^2) \\ \frac{\partial J}{\partial \tilde{i}_t} = \frac{\partial J}{\partial i_t}i_t(1-i_t) \\ \frac{\partial J}{\partial \tilde{f}_t} = \frac{\partial J}{\partial f_t}f_t(1-f_t) \\ \frac{\partial J}{\partial \tilde{o}_t} = \frac{\partial J}{\partial o_t}i_t(1-o_t) \\ \end{array}\right. \\ \\ \frac{\partial J}{\partial x_t} = \frac{\partial J}{\partial \tilde{o}_t}W_{xo}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{f}_t}W_{xf}^T+ \frac{\partial J}{\partial \tilde{i}_t}W_{xi}^T+\frac{\partial J}{\partial \tilde{g}_t}W_{xg}^T\\ \end{array}\right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​∂ht​∂J​=∂yt​∂J​WyhT​+∂o~t+1​∂J​WhoT​+∂f~​t+1​∂J​WhfT​+∂i~t+1​∂J​WhiT​+∂g~​t+1​∂J​WhgT​∂mt​∂J​=∂ht​∂J​⊙ot​∂ct​∂J​=∂mt​∂J​dct​dmt​​+∂ct+1​∂J​⊙ft+1​+∂f~​t+1​∂J​WcfT​+∂i~t+1​∂J​WciT​∂gt​∂J​=∂ct​∂J​⊙it​∂it​∂J​=∂ct​∂J​⊙gt​∂ft​∂J​=∂ct​∂J​⊙ct−1​∂ot​∂J​=∂ht​∂J​⊙mt​​⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫​⇒⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∂g~​t​∂J​=∂gt​∂J​(1−gt2​)∂i~t​∂J​=∂it​∂J​it​(1−it​)∂f~​t​∂J​=∂ft​∂J​ft​(1−ft​)∂o~t​∂J​=∂ot​∂J​it​(1−ot​)​∂xt​∂J​=∂o~t​∂J​WxoT​+∂f~​t​∂J​WxfT​+∂i~t​∂J​WxiT​+∂g~​t​∂J​WxgT​​

对参数的梯度：
$\left \{\begin{array}{l} \frac{\partial J}{\partial W_{ho}} = h_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{o}_{t+1}} \\ \frac{\partial J}{\partial W_{hf}} = h_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{f}_{t+1}} \\ \frac{\partial J}{\partial W_{hi}} = h_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{i}_{t+1}} \\ \frac{\partial J}{\partial W_{hg}} = h_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{g}_{t+1}} \end{array} \right. \left \{\begin{array}{l} \frac{\partial J}{\partial W_{yh}} = h_t^T\frac{\partial J}{\partial y_t} \\ \frac{\partial J}{\partial W_{cf}} = c_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{f}_{t+1}} \\ \frac{\partial J}{\partial W_{ci}} = c_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{i}_{t+1}} \\ \frac{\partial J}{\partial W_{co}} = c_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{o}_{t}} \end{array} \right. \left \{\begin{array}{l} \frac{\partial J}{\partial W_{xo}} = x_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{o}_{t}} \\ \frac{\partial J}{\partial W_{xf}} = x_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{f}_{t}} \\ \frac{\partial J}{\partial W_{xi}} = x_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{i}_{t}} \\ \frac{\partial J}{\partial W_{xg}} = x_t^T\frac{\partial J}{\partial \tilde{g}_{t}} \\ \end{array} \right.$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∂Who​∂J​=htT​∂o~t+1​∂J​∂Whf​∂J​=htT​∂f~​t+1​∂J​∂Whi​∂J​=htT​∂i~t+1​∂J​∂Whg​∂J​=htT​∂g~​t+1​∂J​​⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∂Wyh​∂J​=htT​∂yt​∂J​∂Wcf​∂J​=ctT​∂f~​t+1​∂J​∂Wci​∂J​=ctT​∂i~t+1​∂J​∂Wco​∂J​=ctT​∂o~t​∂J​​⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∂Wxo​∂J​=xtT​∂o~t​∂J​∂Wxf​∂J​=xtT​∂f~​t​∂J​∂Wxi​∂J​=xtT​∂i~t​∂J​∂Wxg​∂J​=xtT​∂g~​t​∂J​​

参考资料：https://www.cnblogs.com/xuruilong100/p/8506949.html