有关导数的一点点学习

定义

导数

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)的某个邻域内有定义,当自变量\(x\)\(x_0\)处有增量\(Δx\)\((x_0+Δx)\)也在该邻域内时,相应地函数取得增量\(Δy = f(x_0+Δx)-f(x_0)\)如果\(Δy\)\(Δx\)之比当\(Δx→0\)时极限存在,则称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导,并称这个极限为函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数
好高级的样子。。。
怎么用人话表述呢
说白了就是给定函数\(f(x)\),则其平均变化率为\(\frac {f(x + \Delta x) - f(x)} {\Delta x}\)\(\Delta x\)趋近于负无穷,平均变化率的极限为\(\lim _ {\Delta x\rightarrow 0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)} {\Delta x}\)此时我们称该式为\(f(x)\)的导数,记作\(f‘(x)\)
所以说

\[f‘(x_0) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)} {f(\Delta x)} \]

同时,在数学中以下两者是等价的

\[f‘(x_0) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)} {f(\Delta x)} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {f(x_0 ) - f(x_0 - \Delta x)} {f(\Delta x)} \]

导函数

如果函数\(y=f(x)\)在开区间内每一点都可导,就称函数\(f(x)\)在区间内可导。这时函数\(y=f(x)\)对于区间内的每一个确定的x值,都对应着一个确定的导数值,这就构成一个新的函数,称这个函数为原来函数\(y=f(x)\)的导函数,记作\(y‘\)\(f‘(x)\)\(dy/dx\)\(df(x)/dx\) ,简称导数。
换成几何意义的话可能会更好理解:导数的几何意义是该函数曲线在这一点的切线斜率

常用导函数

那么知道了定义,以下是一些常见函数的导函数

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简单的计算法则

加法法则

\[(f(x) + g(x))‘ = f‘(x) + g‘(x) \]

减法法则

\[(f(x) - g(x))‘ = f‘(x) - g‘(x) \]

乘法法则

\[(f(x) \times g(x))‘ = f‘(x)\times g(x) + g‘(x) \times f(x) \]

除法法则

\[(\frac {f(x)} {g(x)})‘ = \frac {f(x) \times g‘(x) - g(x) \times f‘(x)} {(f(x))^{2}} \]

后记

本人比较菜,所以这一篇博客只写了导数最基础的知识,没有复杂的公式,更没有例题,因为我现在在学校并没有学习导数,目前只是出于兴趣提前看看,所以不是很精,有的地方可能会出错,大佬勿喷,如果有错误请一定要告诉我呜呜呜呜多谢了QAQ,同时由于是自己随便学的,所以相关定理和例题并没有章法,就是学到啥了有感触了就写一点,这篇博客随着我学的越来越多会逐渐更新上题和深度学的东西的,不定期更新!

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