复指数信号e^jwt的图像及性质

信号与系统、数字信号处理、信号分析,都离不开傅里叶变换,而傅里叶变换又离不开 e j w t e^{jwt} ejwt。
关于 e j w t e^{jwt} ejwt,好像很熟悉,很了解,但问你它是什么一个东西、有什么特点、相关的性质属性,你能马上说出来吗?

首先, e j w t e^{jwt} ejwt中j是虚数单位,w一般当做常量,t为变量。
关于虚数单位,应当回想起复数有关的知识,复数一般形如a+bj,可以在复平面用一根线表示,线的长度表示复数的模,与实轴(横轴)的夹角表示复数的相位。
既然 e j w t e^{jwt} ejwt有自变量t(正是因为有了时间变量, e j w t e^{jwt} ejwt也叫复指数信号),那应当可以画出它的图像。
谈到 e j w t e^{jwt} ejwt的图像,你脑海里浮现出什么?
我脑海里竟想不出它的样子。
anyway,而今迈步从头越。

w=1;
t=0:0.1:20;
f=exp(1j*w*t);%语法问题,写代码最好用1j代替j
x=t;
y=imag(f);
z=real(f);
plot3(x,y,z,'.b');
xlabel('时间t');
ylabel('虚部y');
zlabel('实部z');

于是得到了 e j w t e^{jwt} ejwt的图像

复指数信号e^jwt的图像及性质
(注意上图中的x坐标的方向,与一般我们稿纸画图的方向不同,看大家的图都不注明自变量的轴是哪个,难怪看晕了)

可以这样理解,画图本来就是先让自变量取一些值,然后在坐标系中描点,最后连线。
上图中的每一个点就是t取t0时, e j w t 0 e^{jwt0} ejwt0对应的值,由欧拉公式可知 e j w t 0 e^{jwt0} ejwt0=cos(wt0)+jsin(wt0),得到的函数值是复数,复数要表示出来得需要两个坐标轴,这也是为什么画出来是三维的。

然后对这幅图进行解析,也就是探究它的性质。
首先,将所有的点在yoz平面上投影,得到的会是一个圆形。这是因为 e j w t e^{jwt} ejwt=cos(wt)+jsin(wt),实部和虚部的平方和为1,所以 e j w t e^{jwt} ejwt在复平面上表示就是一个单位圆。
其次,关于w的物理意义和性质,上面那副图可以看着一个不断螺旋前进的轨迹图,w即反应了旋转的快慢。

最后,关于 e j w t e^{jwt} ejwt。还可以看做一个单位长度,逆时针旋转的复平面旋转向量。

复指数信号e^jwt的图像及性质

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