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首先划分数字成组，不管是整数还是小数，均以小数点为分界线，向左和向右每两位数字划为一个单元（整数的话直接向左划分），直到不够两个数字为止。比如：
12345，可以看做1,23,45；
1234，可以看做12,34；
0.123看一看做0.12,3；
0.1234可以看做0.12,34。
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以7654.321为例，按照之前的划分可以看作76,54.32,1，首先计算76，9的*方是81，超过76了，不行；再看8的*方64，没有超76，差值等于12，参见下图。
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关键的一步到了，和除法一样下移数字，只是这里下移两位，移下来组成1254；而根结果现在只有一个8，取8*20=160，但160中的个位数字0先空着，计算16X*X刚不超过1254，这里算出是7，168*8超了，169*9更不行；算出差值为85。
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同理下移32，组成8532，这时的根结果为87，取87*20=1740，个位的0先空着，心算1745*5肯定会超，应该是1744*4=6976，计算出差值1556。
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这时候只剩下1了，而下移两位是必须的，所以补0，即下移10组成155610；这时的根结果为874，取874*20=17480，个位先空着，计算出17488*8正合适，计算出差值15706。
如果还想计算下去，继续下移两个零，组成1570600，取8748*20=174960，这里估算还是8，即174968*8，以下具体步骤就省略了，这时的开方结果得到为87.488，或四舍五入为87.49。如果要求只保留一位小数，则结果就为87.5。当然若想求得更准确的位数，如法炮制计算下去就可以了。
计算5的开方，先bai上2，5-2*2=1，小数点右边du补两位zhi零，按100试dao商，试3，（2*20+3）zhuan*3>100,试2，（2*20+2）*2<100,上2，余100-（2*20+2）*2=16，接着shu右边补两位零，同理，按1600试商，上4，（22*20+4）*4>1600,上3，余1600-(22*20+3)*3=271,同理，按27100试商，上7，(223*20+7)*7=31296>27100,只能上6，(223*20+6)*6=26796,余27100-26796=304...
得2.236
基本就是试商，用20乘前一次得到的商加上将要试的数，用他们的和再与要试的数乘，再用得到的结果比较。就是比除法复杂点。
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举个例子，1156是四位数，所以它的算术bai*方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3。于是问题的关键在于：如何求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来入手。
根据两数和的*方公式，可以得到
1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2，
所以 1156－30^2=2×30a+a^2，
即 256=(30×2+a)a，
也就是说， a是这样一个正整数，它与30×2的和，再乘以它本身，等于256。
为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：
根号上面的数3是*方根的十位数。将 256试除以30×2，得4(如果未除尽则取整数位).由于4与30×2的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a。竖式中的余数是0，表示开方正好开尽。于是得到 1156=34^2， 或√1156=34. 上述求*方根的方法，称为笔算开*方法，用这个方法可以求出任何正数的算术*方根，它的计算步骤如下：
开方的计算步骤
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用“ ‘ ”这个符号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求*方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数，求得*方根的最高位上的数（竖式中的3）；
3．从第一段的数减去最高位上数的*方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是 4，所以试商是4）；
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商，如果所得的积小于或等于余数，试商就是*方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小之后再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是*方根的第二位数）；
6．用相同的方法，继续求*方根的其余各位上的数。
如碰到开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的*似值。例如求其*似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到。
笔算开*方运算较复杂，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的*方根的具有任意精确度的*似值。
参考资料：百度百科-开*方运算
例如：65536的手算开*方
Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除bai数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。
Step2：从高位开始计算开方。例如第一步为6，由于2^2=4<6<9=3^2，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。于是将2写在根号上方，计算开方余项。即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。
Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。即本步除数是4x(四十几)。按照要求，本步的商必须是x。因为45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。
Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。
扩展资料：
整数开*方步骤：
（1）将被开方数从右向左每隔2位用撇号分开；
（2）从左边第一段求得算数*方根的第一位数字；
（3）从第一段减去这个第一位数字的*方，再把被开方数的第二段写下来，作为第一个余数；
（4）把所得的第一位数字乘以20，去除第一个余数，所得的商的整数部分作为试商（如果这个整数部分大于或等于10，就改用9左试商，如果第一个余数小于第一位数字乘以20的积，则得试商0）；
（5）把第一位数字的20倍加上试商的和，乘以这个试商，如果所得的积大于余数时，就要把试商减1再试，直到积小于或等于余数为止，这个试商就是算数*方根的第二位数字；
（6）用同样方法继续求算数*方根的其他各位数字。 2、小数部分开*方法： 求小数*方根，也可以用整数开*方的一般方法来计算，但是在用撇号分段的时候有所不同，分段时要从小数点向右每隔2段用撇号分开。
如果小数点后的最后一段只有一位，就填上一个0补成2位，然后用整数部分开*方的步骤计算。
任意数开立方根笔算步骤如下:
1、把所求数从右往左每3位分一段分成若干段,从左往右开始计算；
2、先从最左边一段开始计算。用试算法得出这段的得数（该得数要取其立方不溢出所求数第一段上的数时的最大数）设该得数为A；
3、把第一段所求数与A^3的差,在其后面按位补上第二段的数,为第二段要算的数（所求数），取一个试算数B,在计算纸的其它地方第一行写上3A^2,第二行往右移一位写上3AB,第三行往右移一位写上B^2,用竖式加法算出这三行数的和(上面两行数,相应空位补上0).用这个和乘以试算数B所得的积与该段所求数进行比较.试算出最大的B(积不溢出所求数),该数B即为第二段上的得数.把该得数写在算式相应段的上方。
4、相同的方法进行下一段的计算，所不同的是A要取前面已算出的得数，（如前面两位得数分别是1，3，A就取13，如算到第四段，前面三位数分别是1，3，5，A就取135，）试算出相应的B写在该段上方。
5、算到最后一段，如最后试算出来的余数不为0，则说明所求数的立方根不是整数，此时，用与求开方相似的方法，在该数后面补一段000，再算出的得数就是小数点后的第一位数，还有余数，再补三位0，只到余数为0或者至算至足够的小数位即可。
开根号时为什么乘20
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牛顿法求解*方根（一种计算机实现开根的方式）
前言
最*看到一个非常有趣的方法，叫做牛顿法，可以用于求解一个数的*方根，当然可以扩展到求实数或复数域。
牛顿法
话不多说直接上图，一目了然。
我们先在一个点x n x_nxn?处做切线，然后这条切线与x轴的交点x n + 1 x_{n+1}xn+1?就是我们下一个做切线的位置。
如果是二次函数的话，是很简单的导数运算，切线方程：y = f ′ ( x n ) ( x ? x n ) + f ( x n ) y = f'(x_n)(x - x_n) + f(x_n)y=f′(xn?)(x?xn?)+f(xn?)，求交点就是把y置为零就可以了。
推导出这个公式------->x n + 1 = x n ? f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1?=xn??f′(xn?)f(xn?)?!!
看图就会发现离真实的解越来越*了，多次迭代就可以得出*似值，是不是很简单？
不过牛顿法还是有限制的：
- 需要区间内f ′ ( x ) f'(x)f′(x)≠0，不然无法求交点
- 在x求解区间内，f ′ ′ ( x ) f''(x)f′′(x)是连续的
Go代码
语言大同小异，其实还是比较容易看懂的，就是循环了十次，当然次数越多越逼*啊！
func Sqrt(x float64) float64 {
z := 1.0
for i := 1; i <= 10; i++ {
z -= (z*z - x) / (2*z)
}
return z
}
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
x是目标值，z是目标值的*方根需要被求解。
所求函数是f ( z , x ) = z 2 ? x f(z,x)=z^2-xf(z,x)=z2?x，对z求偏导? f ( z , x ) ? z = 2 z \frac{\partial f(z,x)}{\partial z}=2z?z?f(z,x)?=2z。
代入x n + 1 = x n ? f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1?=xn??f′(xn?)f(xn?)?就是中间循环的内容z -= (z*z - x) / (2*z)。
参考链接：
牛顿法开*方
需求
计算一个整数的*方根。
分析
牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上*似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的*似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附*具有*方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
代码
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define LIMIT 0.001
int main()
{
int n;
cin >> n;
double x = n / 2, c = x + 1 + LIMIT;
while(x - c > LIMIT || c - x > LIMIT) {
c = x;
x = (x + n / x) / 2;
}
cout << x << endl;
return 0;
}
输出测试
手动开*方的几种方法
一、死算法
这种方法适合较小数的开*方，比如√5，首先整数部分肯定是2，之后小数部分一个一个试，比如2.1 x 2.1=4.41，2.2 x 2.2=4.84，2.3 x 2.3=5.29，很显然2.3超了，前两位就是2.2，如果还要继续算的话：
2.21 x 2.21=4.8841
2.22 x 2.22=4.9284
2.23 x 2.23=4.9729
2.24 x 2.24=5.0176
那么前三位就是2.23
事实也的确如此
【附加知识】√5-1再除以2的值就是黄金分割率，黄金分割率有十分特殊的性质，在斐波那契数列中也有运用。
二、竖式法
上面那种未免工作量太大了
网传一种列竖式的方法，这里摘抄给大家：
1.先将一组数，以小数点为起点，每隔两位画个记号，比如4856.341，记号为48丨56.34丨1
2.首先看48，7x7=49，大了，就取6 x 6=36，算出差为12，带到下一行，然后下移56，组成1256
3.这时，我们已经知道一位是6，就取6 x 20=120（这里20为常数），然后寻找12X x X≤1256（12X中的X指个位数字，不是12和X的乘积！）发现是129x9=1161，求出差值95，算出前两位为69
4.再将数字带下去得9534，取69 x 20=1380，寻找138X x X≤9534，发现为1386 x 6，得出前3位为69.6
如果你想算可以继续算下去
三、渐进分数
德国数学家克莱因给渐进分数了一个很有趣的几何解释，在*面直角坐标系的原点出发，射出一条射线，这条射线不经过坐标系中任何整数坐标点，此时y=ax，其中a一定是无理数，将这条射线左右摆动，会碰到一些点，这些点对应的就是这个无理数的渐进分数。
回归正题，加入我们要求√11的值，可以这样变换
图源《数学的源与流》张顺燕 编著
继续变换下去，就可以得到封面上的写的式子
当然，这里的+号并不是单纯的+，而是降层符号
那么√11的第一个渐进分数为3，第二个渐进分数为3+1/3，约等于3.33
第三个渐进分数为3+1/（3+1/6）=63/19，约等于3.3158
第四个渐进分数为3+1/［3+1/（6+1/3）］=199/60，约等于3.3167
越来越接*
斐波那契数列
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
|
int Fib(int n) //斐波那契（Fibonacci）数列
{if (n < 1）/*预防错误*/
return 0;
if (n == 1 || n == 2)/*特殊值，无需迭代*/
return 1;
int f1 = 1,f2 = 1,fn;/*迭代变量*/
int i;
for(i=3; i<=n; ++i)/*用i的值来限制迭代的次数*/
{fn = f1 + f2; /*迭代关系式*/
f1 = f2;//f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面
f2 = fn;}return fn;
} |