Deblurring Text Images via L0-Regularized Intensity and Gradient Prior

        观察下图，b e分别为清晰图像a和模糊图像d的像素强度直方图，c f分别为清晰图像a和模糊图像d的水平梯度直方图,基于他们之间差异，提出L0正则先验去噪。

注：L0正则化的值是目标中非零项的个数。

L0正则先验：

记Pt(x)为文本图像x中像素强度非零的个数，Pt(x) = ||x||0

记Pt(∇x) 为文本图像x中（水平）梯度非零的个数

则 P(x) = σ Pt(x) + Pt(∇x)，即为L0正则先验。σ为权重

通过L0正则先验进行文本去模糊：

其中，y为模糊图片，k为模糊核，*为卷积操作，γ和 λ 为权重。上式等价于解以下两式子：

（4）式解法：

     基于半二次分裂L0极小化法[1],提出使用一种有效的交替最小化方法。引入辅助变量u和g=（gh，gv）T     并重写（4）为

 β 和 µ接近无穷，通过修正其他变量来独立的最小化x，u，g。其中u和g初始化为零，在每次迭代中，x的解通过解以下方程获得

 

这个最小二乘最小化问题的封闭解为：

（注：解析解(Analytical solution) 就是根据严格的公式推导，给出任意的自变量就可以求出其因变量，也就是问题的解，然后可以利用这些公式计算相应的问题。所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法(Analytical techniques)，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。解析解是一个封闭形式(Closed-form) 的函数，因此对任一自变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的因变量。因此，解析解也被称为封闭解(Closed-form solution)。）

其中F为快速傅里叶变换，

其中为水平和垂直微分算子。

给出x则计算u和g为：

上式为基于像素最小化问题，通过[1]得

（5）式解法：

使用FFTs，参考[2]

 

(4),(5)解法伪代码

参考文献：

[1] L. Xu, C. Lu, Y. Xu, and J. Jia. Image smoothing via l0 gradient minimization. ACM Trans. Graph., 30(6):174, 2011.

[2] S. Cho and S. Lee. Fast motion deblurring. ACM Trans. Graph., 28(5):145, 2009