1. 圆膜振动的解析结果
鼓面振动就是一种圆膜振动。我相信很多昆虫的脚底的发声器也是圆膜振动。圆膜振动的数学物理方程、及其求解如下。
2. 圆膜振动的可视化
已知上面的解，可以用计算机编程，把不同模式的圆膜振动画成动图，甚至还可以带上声音。
对于给定的\(n,i\)，已经确定一个振动模式，
\[u_{ni} (r,\theta,t) = J_n( k^n_i r) [ E_{ni} cos( k^n_i a t + \phi_{ni} ) cos( n \theta ) + F_{ni} cos( k^n_i at + \varphi_{ni} ) sin( n\theta ) ]
\]
可以更简单一点，只讨论
\[u_{ni} (r,\theta,t) = J_n( k^n_i r) cos( k^n_i a t + \phi_{ni} ) cos( n \theta )，
\]
显而易见，\(J_n( k^n_i r) cos( n \theta )\) 决定了圆膜上各点的振幅，各点做简谐振动，谐振频率仅与 \(n,i\) 有关，
\[f = \frac{ \nu_{ni} }{ 2 \pi }.
\]
然后写个循环画若干桢，变成动图，就可以比较形象地看到不同模式的鼓面振动了。