基础拓扑学讲义 1.3 (邻域，内点和内部)

2023-10-05 13:31:16

邻域，内点和内部

内点和邻域和内部
命题

内点和邻域和内部

邻域(wiki)：If \(X\) is a topological space and \(p\) is a point in \(X\), a neighbourhood of \(p\) is a subset \(V\) of \(X\) that includes an open set \(U\) containing \(p\), such that

\[p\in U\sub V \]

书上定义： \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集，点 \(x\in A\) 且存在开集 \(U\)，使得 \(x\in U \sub A\)，则称 \(x\) 是 \(A\) 的一个内点，\(A\) 是 \(x\) 的一个邻域（我这里和后面为了方便打字，记 \(x\) 的某个邻域为 \(U(x)\). \(A\) 的所有内点称为 \(A\) 的内部

命题

命题 1.1

\(A\sub B \to \mathring{A} \sub \mathring{B}\)

证明：

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in \mathring{A} }{ \exist U(x) \sub A }, A\sub B }{ U(x) \sub B } }{ x \in \mathring{B} } }{ \mathring{A} \sub \mathring{B} } \]

命题 1.2

\(\mathring{A}\) 是包含在 \(A\) 中的所有开集的并集，因此是包含在 \(A\) 中的最大开集

令 \(E=\{S~is~open~|~S\sub A\}\)

要证

\[\mathring{A} = \bigcup_{S\in E}S \]

左 \(\sub\) 右

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in \mathring{A} }{ \exist U(x) \sub A }, generally, ~U(x)~is~open }{ U(x) \in E } }{ \mathring{A} \sub \bigcup_{S\in E}S } \]

右 \(\sub\) 左

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x\in \bigcup_{S\in E}S }{ \exist S_0 \in E\to x\in S_0 }, \dfrac{ S_0 \in E }{ S_0~is~open } }{ x\in \mathring{A} } }{ \bigcup_{S\in E}S \sub \mathring{A} } \]

命题 1.3

\(\mathring{A} = A \iff A\) 是开集

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \mathring{A} = A, \mathring{A}~is~open }{A~is~open} }{ \mathring{A} = A \to A~is~open }, \dfrac{ \dfrac{ \mathring{A}~is~the~max~open~set, \dfrac{ A~is~the~max~set\sub A, A~is~open }{ A~is~the~max~open~set\sub A } }{ \mathring{A} = A } }{ A~is~open \to \mathring{A} = A } }{ \mathring{A} = A \iff A~is~open } \]

命题 1.4

\((A\cap B)^{\circ} = \mathring{A}\cap \mathring{B}\)

左 \(\sub\) 右

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in (A\cap B)^\circ }{ \exist U(x) \sub A \cap B } }{ \dfrac{U(x) \sub A}{x\in \mathring{A}}, \dfrac{U(x) \sub B}{x\in \mathring{B}} } }{x\in \mathring{A}\cap \mathring{B}} }{ (A\cap B)^{\circ} \sub \mathring{A}\cap \mathring{B} } \]

右 \(\sub\) 左

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{\forall x\in \mathring{A}\cap \mathring{B} }{ \dfrac{x\in \mathring{A}}{ \exist U_1(x)\sub A }, \dfrac{x\in \mathring{B}}{ \exist U_2(x)\sub B }, U_1, U_2~is~open } }{ (U_1\cap U_2) \sub A\cap B}\land (U_1\cap U_2)~is~open }{ x\in \mathring{B} \sub (A\cap B)^\circ } }{ \mathring{A}\cap \mathring{B} \sub (A\cap B)^{\circ} } \]

命题 1.5

\((A\cup B)^{\circ} \supset \mathring{A}\cup \mathring{B}\)

\[\dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \forall x \in \mathring{A}\cup \mathring{B} }{ Assume~x\in \mathring{A} } }{ \exist U(x) \sub A\sub (A\cup B) } }{x\in (A\cup B)^\circ} }{ \mathring{A}\cup \mathring{B} \sub (A\cup B)^\circ } \]

命题 1.6

\((A\cup B)^{\circ} \sub \mathring{A}\cup \mathring{B}\) 有时不成立

例如当 \(A=(-1,0], B=[0, 1)\) 时
\((A\cup B)^{\circ} = (-1,1)\)
\(\mathring{A}\cup \mathring{B} = (-1,0)\cup (0, 1)\)

什么样的点 \(x\) 不是 \(A, B\) 的内点，却是 \(A\cup B\) 的内点呢

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