LOJ2302 「NOI2017」整数

2024-01-17 23:54:22

「NOI2017」整数

题目背景

在人类智慧的山巅，有着一台字长为$1048576$位（此数字与解题无关）的超级计算机，著名理论计算机科

学家P博士正用它进行各种研究。不幸的是，这天台风切断了电力系统，超级计算机

无法工作，而 P 博士明天就要交实验结果了，只好求助于学过OI的你. . . . . .

题目描述

P 博士将他的计算任务抽象为对一个整数的操作。

具体来说，有一个整数$x$，一开始为$0$。

接下来有$n$个操作，每个操作都是以下两种类型中的一种：

1 a b：将$x$加上整数$a\cdot 2^b$，其中$a$为一个整数，$b$为一个非负整数
2 k ：询问$x$在用二进制表示时，位权为$2^k$的位的值（即这一位上的$1$代表 $2^k$）

保证在任何时候，$x\geqslant 0$。

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行包含四个正整数$n,t_1,t_2,t_3$，$n$的含义见题目描述，$t_1$，$t_2$，$t_3$的具体含义见子任务。

接下来$n$行，每行给出一个操作，具体格式和含义见题目描述。

同一行输入的相邻两个元素之间，用恰好一个空格隔开。

输出格式：

对于每个询问操作，输出一行，表示该询问的答案（$0$或$1$）。对于加法操作，没有任何输出。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

输出样例#1： 复制

说明

在所有测试点中，$1\leqslant t_1 \leqslant 3, 1 \leqslant t_2 \leqslant 4, 1 \leqslant t_3 \leqslant 2$。不同的 $t_1, t_2, t_3$ 对应的特殊限制如下：

对于 $t_1 = 1$ 的测试点，满足 $a = 1$
对于 $t_1 = 2$ 的测试点，满足 $|a| = 1$
对于 $t_1 = 3$ 的测试点，满足 $|a| \leqslant 10^9$
对于 $t_2 = 1$ 的测试点，满足 $0 \leqslant b, k \leqslant 30$
对于 $t_2 = 2$ 的测试点，满足 $0 \leqslant b, k \leqslant 100$
对于 $t_2 = 3$ 的测试点，满足 $0 \leqslant b, k \leqslant n$
对于 $t_2 = 4$ 的测试点，满足 $0 \leqslant b, k \leqslant 30n$
对于 $t_3 = 1$ 的测试点，保证所有询问操作都在所有修改操作之后
对于 $t_3 = 2$ 的测试点，不保证询问操作和修改操作的先后顺序

本题共 25 个测试点，每个测试点 4 分。各个测试点的数据范围如下：

题解

均摊分析一下只支持加的二进制计数器的复杂度。给每一个初始1的增加一点势能，表示它以后进位变成0的花费来源。这样的话复杂度就均摊$O(1)$了。

所以如果本题只支持加法的话可以利用unsigned int压位，复杂度可以达到$O(\frac{30n}{32})=O(n)$

但是可能产生减法怎么办？大力维护一个加法的结果，再维护一个减法的结果。
由于保证了$x\ge 0$，所以只需考虑询问位置即可。做个异或就能得到后面不借位的结果。

至于借位结果，可以用set维护大小不同的块的编号。这样就可以$O(n\log n)$了。

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-') w=-w;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) data=data*10+ch-'0';
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef unsigned uint;

co int N=1e6+1;
int n;
uint inc[N],dec[N];
std::set<int> s;
int main(){
    read(n),read<int>(),read<int>(),read<int>();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(read<int>()==1){
            int a=read<int>(),b=read<int>();
            int p=b/32,q=b%32;
            if(a>0){
                uint st=(uint)a<<q;
                uint ic=(uint)a>>(31-q);ic>>=1;
                uint od=inc[p];
                inc[p]+=st,ic+=od>inc[p];
                if(inc[p]^dec[p]) s.insert(p);
                else if(s.count(p)) s.erase(p);
                for(++p;ic;++p){
                    od=inc[p];
                    inc[p]+=ic,ic=od>inc[p];
                    if(inc[p]^dec[p]) s.insert(p);
                    else if(s.count(p)) s.erase(p);
                }
            }
            else if(a<0){
                a=-a;
                uint st=(uint)a<<q;
                uint ic=(uint)a>>(31-q);ic>>=1;
                uint od=dec[p];
                dec[p]+=st,ic+=od>dec[p];
                if(inc[p]^dec[p]) s.insert(p);
                else if(s.count(p)) s.erase(p);
                for(++p;ic;++p){
                    od=dec[p];
                    dec[p]+=ic,ic=od>dec[p];
                    if(inc[p]^dec[p]) s.insert(p);
                    else if(s.count(p)) s.erase(p);
                }
            }
        }
        else{
            int b=read<int>();
            int p=b/32,q=b%32;
            int ans=(inc[p]>>q^dec[p]>>q)&1;
            uint v1=inc[p]%(1<<q);
            uint v2=dec[p]%(1<<q);
            if(v1<v2) printf("%d\n",ans^1);
            else if(v1>v2||s.empty()||p<=*s.begin()) printf("%d\n",ans);
            else{
                std::set<int>::iterator it=s.lower_bound(p);--it;
                if(inc[*it]>dec[*it]) printf("%d\n",ans);
                else printf("%d\n",ans^1);
            }
        }
    }
    return 0;
}

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