定义
动态树问题 ，是一类要求维护一个有根树森林，支持对树的分割, 合并等操作的问题。
由 \(RobertE.Tarjan\) 为首的科学家们提出解决算法 \(Link-Cut Trees\)，简称 \(lct\)。
在处理树上的很多询问问题的时候，我们常常会用到轻重链剖分，但是它只能维护当树的形态保持不变的时候的信息。
那么在树形态发生变化的时候，轻重链剖分就失去了效果，这个时候我们就要用到 \(lct\)。
个人感觉这篇博客讲的不错
前置知识:spaly
\(splay\) 是 \(lct\) 的辅助树
如果不会 \(splay\) 可以去我的博客学习一下
性质
\(1\)、和轻重链剖分相同的是，\(lct\) 也对要维护的树进行了划分，将链分为了实链和虚链。
每一个 \(Splay\) 维护的是一条从上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历 \(Splay\) 得到的每个点的深度序列严格递增。
\(2\)、每个节点包含且仅包含于一个 \(Splay\) 中
\(3\)、边分为实边和虚边，实边包含在 \(Splay\) 中，而虚边总是由一棵 \(Splay\) 指向另一个节点（指向该 \(Splay\) 中中序遍历最靠前的点在原树中的父亲）。
如果一个节点有多个儿子，那么该节点只会认用实边相连的那个儿子，对于虚边相连的儿子，则会认父不认子。
操作
1、结构体定义
个人的写法是把 \(lct\) 封装到了结构体里
int ch[maxn][2],fa[maxn],val[maxn],sum[maxn],top,sta[maxn],rev[maxn];
//ch[0/1]:左/右儿子 fa:父亲节点 val:该节点的权值
//sum:该节点及其子树的权值之和 sta&top:push_down时用 rev:翻转标记
2、标记上传和下放
类似于线段树
要注意的是，线段树的父亲节点并不是一个真实的节点，而 \(spaly\) 的父亲节点代表了原树中真实存在的一个节点
void push_up(rg int da){
sum[da]=sum[ch[da][0]]^sum[ch[da][1]]^val[da];
}
void push_down(rg int da){
rg int lc=ch[da][0],rc=ch[da][1];
if(rev[da]){
rev[lc]^=1,rev[rc]^=1,rev[da]^=1;
std::swap(ch[da][0],ch[da][1]);
}
}
3、isroot操作
判断某个节点是否是该节点所在的 \(splay\) 的根节点
利用了性质 \(3\)
bool isroot(rg int da){
return (ch[fa[da]][0]!=da)&&(ch[fa[da]][1]!=da);
}
4、splay操作
和 \(splay\) 板子的区别就是多了 \(push\_down\) 操作
void xuanzh(rg int x){
rg int y=fa[x];
rg int z=fa[y];
rg int k=(ch[y][1]==x);
if(!isroot(y)){
ch[z][ch[z][1]==y]=x;
}
fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][k^1];
fa[ch[x][k^1]]=y;
ch[x][k^1]=y;
fa[y]=x;
push_up(y);
push_up(x);
}
void splay(rg int x){
sta[top=1]=x;
for(rg int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) sta[++top]=fa[i];
for(rg int i=top;i>=1;i--) push_down(sta[i]);
//把需要下传标记的提前存起来一起修改
while(!isroot(x)){
rg int y=fa[x];
rg int z=fa[y];
if(!isroot(y)){
(ch[z][1]==y)^(ch[y][1]==x)?xuanzh(x):xuanzh(y);
}
xuanzh(x);
}
}
5、access操作
比较重要的一个操作
目的是打通根节点到指定节点的实链，使得一条中序遍历以根开始、以指定点结束的 \(Splay\) 出现
void access(rg int x){
for(rg int y=0;x;y=x,x=fa[x]){
splay(x);
ch[x][1]=y;
push_up(x);
}
}
6、makeroot操作
使某一个节点成为整个联通块的根
\(access\) 之后已经打通了一条当前点到根节点的路径
此时 \(x\) 在 \(Splay\) 中一定是深度最大的点
把 \(x\ splay\) 一下，\(x\) 将没有右子树（性质\(1\)）
于是翻转整个 \(Splay\)，使得所有点的深度都倒过来了
\(x\) 没了左子树，成了深度最小的点（根节点），达到了我们的目的
要注意的是，换根操作之后，原树的形态就改变了
void makeroot(rg int x){
access(x);
splay(x);
rev[x]^=1;
push_down(x);
}
7、findroot操作
找出指定点所在的联通块的根节点
和上一个操作一样，只不过这一次我们不再进行翻转操作，而是一直跳左子树
最后跳到的节点就是根
int findroot(rg int x){
access(x);
splay(x);
while(ch[x][0]){
push_down(x);
x=ch[x][0];
}
splay(x);
return x;
}
8、split操作
提取 \(x\) 到 \(y\) 的路径
先让 \(x\) 成为根节点，再打通 \(y\) 到根节点的路径
void split(rg int x,rg int y){
makeroot(x);
access(y);
splay(y);
}
9、删边、连边操作
先让 \(x\) 成为根节点，再判断联通性
void link(rg int x,rg int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x) fa[x]=y;
}
void cut(rg int x,rg int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)==x && fa[y]==x && ch[y][0]==0){
fa[y]=ch[x][1]=0;
push_up(x);
}
}
10、求LCA操作
两遍 \(access\)
int access(rg int x){
for(rg int y=0;x;y=x,x=fa[x]){
splay(x);
ch[x][1]=y;
push_up(x);
}
return y;// 多了一个返回值
}
然后求 \(LCA\) 的过程就出来了。
int LCA(int x,int y){
if(findroot(x)!=findroot(y))// 必须的特判。
return -1;
access(x);
return access(y);
}
完整模板
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define rg register
inline int read(){
rg int x=0,fh=1;
rg char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=1e6+5;
int n,m;
struct LCT{
int ch[maxn][2],fa[maxn],val[maxn],sum[maxn],top,sta[maxn],rev[maxn];
void push_up(rg int da){
sum[da]=sum[ch[da][0]]^sum[ch[da][1]]^val[da];
}
void push_down(rg int da){
rg int lc=ch[da][0],rc=ch[da][1];
if(rev[da]){
rev[lc]^=1,rev[rc]^=1,rev[da]^=1;
std::swap(ch[da][0],ch[da][1]);
}
}
bool isroot(rg int da){
return (ch[fa[da]][0]!=da)&&(ch[fa[da]][1]!=da);
}
void xuanzh(rg int x){
rg int y=fa[x];
rg int z=fa[y];
rg int k=(ch[y][1]==x);
if(!isroot(y)){
ch[z][ch[z][1]==y]=x;
}
fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][k^1];
fa[ch[x][k^1]]=y;
ch[x][k^1]=y;
fa[y]=x;
push_up(y);
push_up(x);
}
void splay(rg int x){
sta[top=1]=x;
for(rg int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) sta[++top]=fa[i];
for(rg int i=top;i>=1;i--) push_down(sta[i]);
while(!isroot(x)){
rg int y=fa[x];
rg int z=fa[y];
if(!isroot(y)){
(ch[z][1]==y)^(ch[y][1]==x)?xuanzh(x):xuanzh(y);
}
xuanzh(x);
}
}
void access(rg int x){
for(rg int y=0;x;y=x,x=fa[x]){
splay(x);
ch[x][1]=y;
push_up(x);
}
}
void makeroot(rg int x){
access(x);
splay(x);
rev[x]^=1;
push_down(x);
}
int findroot(rg int x){
access(x);
splay(x);
while(ch[x][0]){
push_down(x);
x=ch[x][0];
}
splay(x);
return x;
}
void split(rg int x,rg int y){
makeroot(x);
access(y);
splay(y);
}
void link(rg int x,rg int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x) fa[x]=y;
}
void cut(rg int x,rg int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)==x && fa[y]==x && ch[y][0]==0){
fa[y]=ch[x][1]=0;
push_up(x);
}
}
}lct;
int main(){
n=read(),m=read();
for(rg int i=1;i<=n;i++) lct.sum[i]=lct.val[i]=read();
rg int aa,bb,cc;
for(rg int i=1;i<=m;i++){
aa=read(),bb=read(),cc=read();
if(aa==0){
lct.split(bb,cc);
printf("%d\n",lct.sum[cc]);
} else if(aa==1){
lct.link(bb,cc);
} else if(aa==2){
lct.cut(bb,cc);
} else {
lct.splay(bb);
lct.val[bb]=cc;
}
}
return 0;
}
复杂度证明
一些题目
类型一、维护链信息
注意区间标记先乘后除
然后就和普通的线段树一样标记下放即可
如果没有删边和加边操作，也可以用树链剖分实现
，但是复杂度要多一个 \(log\)
有的时候要维护的信息不是在点上而是在边上
此时我们就需要把边看成点
例如有一条边 \((u,v)\)，编号为 \(id\)
那么我们需要在 \(lct\) 中连两条边 \((u,id+n)(v,id+n)\)
边的信息储存在 \(id+n\) 这个点上
类型二、动态维护联通性
这道题用可撤销并查集按秩合并也可以做
换成 \(lct\) 也是一个板子
只要判断两个点 \(findroot\) 得到的值是否一样即可
类型三、最小生成树一类的问题
这种题大部分都需要在边权上维护一个最大/最小值，然后按照边权从大到小/从小到大排序
遍历到一条边时，如果这条边所连的两个点已经在同一个同一个联通块中，根据需要删边/加边
类型四、维护子树信息
因为 \(LCT\) 中的儿子有实儿子和虚儿子之分
\(splay\) 中存储的只是实儿子的信息
所以我们要新开一个变量 \(siz2\) 记录虚子树的大小
相应地一些函数也要被修改
struct LCT{
int ch[maxn][2],siz2[maxn],siz[maxn],top,sta[maxn],rev[maxn],wz[maxn],fa[maxn];
void push_up(rg int da){
siz[da]=siz[ch[da][1]]+siz[ch[da][0]]+1+siz2[da];
}
void push_down(rg int da){
rg int lc=ch[da][0],rc=ch[da][1];
if(rev[da]){
rev[lc]^=1,rev[rc]^=1,rev[da]^=1;
std::swap(ch[da][0],ch[da][1]);
}
}
bool isroot(rg int da){
return ch[fa[da]][0]!=da&&ch[fa[da]][1]!=da;
}
void xuanzh(rg int x){
rg int y=fa[x];
rg int z=fa[y];
rg int k=(ch[y][1]==x);
if(!isroot(y)){
ch[z][ch[z][1]==y]=x;
}
fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][k^1];
fa[ch[x][k^1]]=y;
ch[x][k^1]=y;
fa[y]=x;
push_up(y);
push_up(x);
}
void splay(rg int x){
top=1;
sta[top]=x;
for(rg int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) sta[++top]=fa[i];
for(rg int i=top;i>=1;i--) push_down(sta[i]);
while(!isroot(x)){
rg int y=fa[x];
rg int z=fa[y];
if(!isroot(y)){
(ch[z][1]==y)^(ch[y][1]==x)?xuanzh(x):xuanzh(y);
}
xuanzh(x);
}
}
void access(rg int x){
for(rg int y=0;x;y=x,x=fa[x]){
splay(x);
siz2[x]+=siz[ch[x][1]]-siz[y];
ch[x][1]=y;
push_up(x);
}
}
void makeroot(rg int x){
access(x);
splay(x);
rev[x]^=1;
push_down(x);
}
void split(rg int x,rg int y){
makeroot(x);
access(y);
splay(y);
}
void link(rg int x,rg int y){
makeroot(x);
makeroot(y);
fa[x]=y;
siz2[y]+=siz[x];
}
void cut(rg int x,rg int y){
split(x,y);
fa[x]=ch[y][0]=0;
push_up(y);
makeroot(x);
makeroot(y);
}
}lct;