Link Cut Tree 动态树

2024-01-17 12:47:40

干啥用的？

对于一个森林，查询链上信息、

前置芝士：splay

P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）

~~（开始大量盗图）~~

首先确定LCT的一些基本概念

实边：每个点最多连一条实边（类似树剖），这个边是随便连的，而且是可以变的、虚边：不是实边的边
实链：对于每个实边构成的链（这条链必须是从上到下深度递增），开一个splay，存的是树上的节点，按深度排序（中序遍历为深度递增），平衡树上维护的信息就是这一条链的信息

对于每个节点，\(fa[x]\)表示父亲（实链则表示splay上的父亲，否则表示虚链上的父亲），\(son[x][0/1]\)表示splay上的左右儿子，不记录虚链的儿子

这样判断是否为当前这个splay的根的方法就变为

inline bool is_root(int x){return son[fa[x]][0]!=x&&son[fa[x]][1]!=x;}

这一棵树

按splay划分就是

因为有翻转操作（之后会提到哪里会用），所以需要用到文艺平衡树

int son[N][2],val[N],sum[N],tag[N],fa[N];
inline void update(int x){sum[x]=sum[son[x][0]]^sum[son[x][1]]^val[x];}
inline void rev(int x){swap(son[x][1],son[x][0]);tag[x]^=1;}
inline void pushdown(int x){
	if(!tag[x])return;tag[x]=0;
	if(son[x][0])rev(son[x][0]);
	if(son[x][1])rev(son[x][1]);
}
inline int id(int x){return x==son[fa[x]][1];}
inline void rotate(int x){
	int f=fa[x],gf=fa[f],idf=id(f),idx=id(x);
	if(!is_root(f))son[gf][idf]=x;fa[x]=gf;
	son[f][idx]=son[x][idx^1];son[x][idx^1]=f;
	if(son[f][idx])fa[son[f][idx]]=f;fa[f]=x;
	update(f);update(x);
}
int stac[N],top;
inline void splay(int x){
	top=0;int cur=x;stac[++top]=x;
	while(!is_root(cur))cur=fa[cur],stac[++top]=cur;
	while(top)pushdown(stac[top--]);//从上到下下放标记
	while(!is_root(x)){
		if(!is_root(fa[x])){
			if(id(fa[x])==id(x))rotate(fa[x]);
			else rotate(x);
		}
		rotate(x);
	}
}

\(access(x)\)

LCT基本操作，让\(x\)到根的路径上为一条实链

目标：

依次完成：

把自己变为根，断掉原来的儿子，向上

把自己变为根，替换掉原来的儿子，向上

直到合并到根为止

inline void access(int x){
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		splay(x),son[x][1]=y,update(x);
}

其余操作都在\(splay\)和\(access\)基础上

\(make\_root(x)\)

让\(x\)成为根

先打通\(x\)到根的路径，然后让\(x\)成为当前\(splay\)的根

但是这时的\(splay\)是按深度递增的，没有变，要变成按深度递减，那么就需要把这棵树翻转一下

inline void make_root(int x){
	access(x);	splay(x);	rev(x);
}

\(find\_root(x)\)

找到\(x\)所在树的根

先打通\(x\)到根的路径，找到这个splay的深度最低的点即可（注意\(pushdown\)）

inline int find_root(int x){
	access(x);	splay(x);	pushdown(x);
	while(son[x][0])x=son[x][0],pushdown(x);
	splay(x);
	return x;
}

\(link(x,y)\)

先让\(x\)成为根，判断一下\(y\)的根是不是\(x\)

是的话就已经在一棵树内，不用连边

否则连一条虚边

inline void link(int x,int y){
	make_root(x);
	if(find_root(y)==x)return ;
	fa[x]=y;
}

\(cut(x,y)\)

同样的先把\(x\)作为根，判断一下\(y\)在不在\(x\)的子树内

注意这里调用了\(find\_root(y)\)，若\(y\)在\(x\)的子树内，那么\(x\)到\(y\)的链已经打通，\(x,y\)在同一颗\(splay\)内，且这棵\(splay\)的根为\(x\)

那么如果\(y\)与\(x\)有连边，那么\(y\)的深度等于\(dep[x]+1\)，又因为splay维护一条链的信息，这个\(dep[x]+1=dep[y]\)的点事唯一的，即\(y\)一定是\(x\)的右儿子，且\(y\)没有左儿子（不存在在\(x,y\)之间的点）

inline void cut(int x,int y){
	make_root(x);
	if(find_root(y)!=x||fa[y]!=x||son[y][0])return;
	fa[y]=son[x][1]=0;update(x);
	return ;
}

\(query(x,y)\)

以\(x\)为根，连上\(x,y\)的边，以\(x/y\)为splay的根

这样跟的信息就是整条链的信息

inline int query(int x,int y){
	make_root(x);access(y);splay(y);
	return sum[y];
}

\(modify(x,val)\)

修改信息

即把\(x\)作为其所在\(splay\)的根，然后跟新自己的\(val\)，最后\(update\)即可

inline void modify(int x,int v){
	splay(x);val[x]=v;update(x);
}

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