AcWing 4081. 选数（二维费用背包问题）

题意

有n个数，现在需要选出k个。让这k个数相乘后末尾零的个数最多

算法

动态规划

尾零的数量等价于选出的 \(k\) 个数的质因子分解中的 2 的幂次与 5 的幂次。

状态定义：

\(f[i][j][k]\) 表示在前 \(i\) 个数中选 \(j\) 个数，且 5 的因子数量为 \(k\) 时 2的因子数量的最大

状态计算：

不选第i个：\(f[i][j][k] = f[i - 1][j][k]\)

选第i个：\(f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i - 1][j - cnt_5] + cnt_2\)

发现问题便是01背包问题，可优逆序处理化掉一维度。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 210, M = 5010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][M];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        LL x;
        cin >> x;
        while (x % 5 == 0) x /= 5, v[i] ++ ;
        while (x % 2 == 0) x /= 2, w[i] ++ ;
    }

    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j; j -- )
            for (int k = i * 25; k >= v[i]; k -- )
                f[j][k] = max(f[j][k], f[j - 1][k - v[i]] + w[i]);

    int res = 0;
    for (int i = 1; i < M; i ++ )
        res = max(res, min(i, f[m][i]));

    cout << res << endl;
    return 0;
}