https://loj.ac/problem/10038

题目描述

  给出一个字符串\(S\)，以及\(q\)次询问，每次询问这个字符串子串的最短循环节。

思路

  这道题是毒瘤题，一定是毒瘤题，至少\(loj\)的数据是。我有两个思路，一个\(93\)分，一个不加快读\(97\)分，加快读满分。

  首先，很显然，对于一个字符串求最小循环节，枚举为其长度因数的前缀。但这样显然会\(T\)，我们考虑优化。

  \(①\)我们考虑可以通过预处理，快速求出一段子串内所有字母的个数，而最小循环节中的字母个数一定是所有字母数的公因数，那么最小循环节的个数一定是这个公因数的因数，才有可能是循环节。所以我们枚举\([1,\sqrt{vgcd}]\)，看是否为循环节，更新答案。最后\(93\)分。

  \(②\)第一个做法跑不过去的原因是枚举时候有过多的无用状态，但又难以继续优化，我们再从最初的想法开始。我们想对于最小循环节长度，它的倍数也一定是循环节。我们先用线性筛取出到原字符串长度的所有数的最小质因数。之后每次询问把询问子串的长度进行质因数分解，求出其每一个质因数，再尝试除以每一个质因数，不断缩小\(len\)，最后答案就是最小循环节。

代码（方法一，93分）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const ull p=131,MAXN=5e5+10;
char s[MAXN];
ull sum[MAXN],power[MAXN],ans;
ull f[MAXN][30];
ull f_hash(ull l,ull r)
{
    return (ull)sum[r]-sum[l-1]*power[r-l+1];
}
ull gcd(ull x,ull y)
{
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
void check(ull l,ull r,ull len)
{
    if(f_hash(l,r-len)==f_hash(l+len,r))
        ans=min(ans,len);
}
ull read()
{
    ull ret=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){ret=ret*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return ret*w;
}
int main() 
{
    ull n;
    n=read();
    gets(s+1);
    power[0]=1;
    for(ull i=1;i<=n;i++)
    {
        sum[i]=sum[i-1]*p+(s[i]-'a'+1);
        power[i]=power[i-1]*p;
    }
    for(ull i=1;i<=n;i++)
    {
        for(ull j=1;j<=26;j++)
            f[i][j]=f[i-1][j];
        f[i][s[i]-'a'+1]++;
    }
    ull q;
    q=read();
    while(q--)
    {
        ull l,r;
        l=read();r=read();
        ull len=r-l+1,vgcd=r-l+1;
        for(ull i=1;i<=26;i++)
            vgcd=gcd(vgcd,f[r][i]-f[l-1][i]);
        ans=1e9;
        for(ull i=1;i*i<=vgcd;i++)
            if(vgcd%i==0)
            {
                check(l,r,len/i);
                check(l,r,len/(vgcd/i));
            }
        printf("%llu\n",ans);
    }
    return 0;
}

代码（正解，满分）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const ull p=47,MAXN=5e5+10;
char s[MAXN];
ull sum[MAXN],power[MAXN],ans,ys[MAXN],prime[MAXN],nxt[MAXN];
bool used[MAXN];
ull f_hash(ull l,ull r)
{
    return (ull)sum[r]-sum[l-1]*power[r-l+1];
}
bool check(ull l,ull r,ull len)
{
    return f_hash(l,r-len)==f_hash(l+len,r);
}

ull read()
{
    ull res=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return res*w;
}
void write(ull x)
{
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10^48);
}
void writeln(ull x)
{
    write(x);
    putchar('\n');
}

void pri()
{
    ull k=0;
    for(ull i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(!used[i])
        {
            prime[++k]=i;
            nxt[i]=i;
        }
        for(int j=1;j<=k&&i*prime[j]<=MAXN;j++)
        {
            ull m=i*prime[j];
            used[m]=1;
            nxt[m]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0)break ;
        }
    }
}
int main() 
{
    ull n=read();
    scanf(" %s",s+1);
    power[0]=1;
    for(ull i=1;i<=n;i++)
    {
        sum[i]=sum[i-1]*p+(s[i]-'a'+1);
        power[i]=power[i-1]*p;
    }
    pri();
    ull q=read();
    while(q--)
    {
        ull l=read(),r=read();
        ull len=r-l+1,cnt=0;
        while(len!=1)
        {
            ys[++cnt]=nxt[len];
            len/=nxt[len];
        }
        len=r-l+1;
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
        {
            int tmp=len/ys[i];
            if(check(l,r,tmp))
                len=tmp;
        }
        writeln(len);
    }
    return 0;
}