题目描述

现有一个升序排序的N位的二进制数。
这些二进制数包含所有长度为N且这个二进制数中1的位数的个数小于等于L(L<=N)的数。
你需要输出的是第i（输入的i确保1<=i<2的N次幂）小的，长度为N，且1的位数的个数小于等于L的那个二进制数，如果还是看不懂的，可以看样例解释。
（比如：001001这样的数字，N=6，含有位数为1的个数为2）。
N<=31

输入

共一行，用空格分开的三个整数N，L，i。

输出

共一行，输出满足条件的第i小的二进制数。

样例输入

5 3 18

样例输出

10010

提示

样例解释：
1 00000
2 00001
3 00010
4 00011
5 00100
6 00101
7 00110
8 00111
9 01000
10 01001
11 01010
12 01011
13 01100
14 01101
15 01110
15 01111 （有四个1，不符条件，pass掉）
16 10000
17 10001
18 10010
19 10011

题目解析

step1：暴力

枚举答案即可。

step：优化

不难得出，在长度为 \(x\) 出现 \(y\) 个 \(1\) 的总数为

\[f(x,y)=\sum^y_{i=0}C^i_x \]

利用这个公式我们从高到低进行确定这位是取 \(0\) 还是 \(1\) 。（类似于康托展开的感觉）
最后记得计算排列的时候要卡精度。
Tips： \(C^x_y=C^{y-x}_y\)
\(32!>2^{62}-1\)

typedef unsigned long long ull;
ll c(int x,int y){
	if(y>x) return c(x,x);
	ull res=1;
	if(x/2<y) return c(x,x-y);
	int j=1;
	for(int i=x;i>=x-y+1&&j<=n;i--){
		res*=(ull)i;
		while(res%j==0&&j<=y) res/=j++;
	}
	for(;j<=y;j++) res/=(ull)j;
	return res;
}

最后是代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long Type;
inline Type read(){
	char c=getchar();
	int flag=0;
	Type sum=0;
	while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=getchar();
	if(c=='-') c=getchar(),flag=1;
	while('0'<=c&&c<='9'){
		sum=(sum<<1)+(sum<<3)+(c^48);
		c=getchar();
	}
	if(flag) return -sum;
	return sum;
}
ll k,n,l;
int check(int x){
	int num=0;
	while(x>0){
		if(x&1) num++;
		x>>=1;
		if(num>l) return 0;
	}
	return 1;
}
typedef unsigned long long ull;
ll c(int x,int y){
	if(y>x) return c(x,x);
	ull res=1;
	if(x/2<y) return c(x,x-y);
	int j=1;
	for(int i=x;i>=x-y+1&&j<=n;i--){
		res*=(ull)i;
		while(res%j==0&&j<=y) res/=j++;
	}
	for(;j<=y;j++) res/=(ull)j;
	return res;
}
ll f(int x,int y){
	if(x<y) return f(x,x);
	ll res=0;
	for(int i=0;i<=y;i++)
	    res+=c(x,i);
	return res;
}
void printx(int x){
	for(int i=n-1;i>=0;i--){
		if(x&(1<<i)) putchar('1');
		else putchar('0');
	}
}
int ans[139],tmp;
int main(){
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	n=read(); l=read(); k=read();
	for(int i=n;i>=1;i--)
	    if(f(i-1,l)>=k){
	    	ans[i]=0;
		}
	    else{
	    	ans[i]=1;
	    	k-=f(i-1,l);
	    	l--;
		}
	for(int i=n;i>=1;i--) printf("%d",ans[i]);
	return 0;
}