天工开数——因式分解(一)
今天开始，我们正式更新天工开数的相关内容
此系列干货居多
更新期数为7.1-7.9
内容主要包含因式分解以及一元二次方程两个模块的知识
虽然我知道该系列的阅读量可能不会很高
哪怕只有个位数
但我已经答应了某位大师兄要更新这个系列
哪怕只有他一个人看，也算是我的努力没有白费
请拿出纸和笔
里面有一些例题哦
今天的内容是因式分解(一)
因式分解的基本概念
在前面的学习阶段中
我们几乎没有接触过因式分解这个概念
因式分解的含义究竟是什么？
这里我们需要拆开来看
一个是因式
一个是分解
什么叫因式
可以类比因数
举个例子
25的因数可以是1和25，可以是5和5
那么因式也是这样一个概念
比如a2+ab的因式就是a和a+b
那么把一个多项式化成几个整式的积的形式
就叫做因式分解
他的本质是什么？
他的本质就是把和化为积
把加法转变为乘法的过程
经过因式分解后的结果有如下的特征或要求
- 结果一定是整式乘积的形式
- 结果中的每一个因式都不能被分解
- 相同因式的积要写成幂的形式
- 单项式一般卸载多项式前面
- 只含有小括号
- 因式第一项的系数不为负数
- 因式中不含任何可合并的同类项
以上七项均需满足，在具体的题目中我们会涉及
下面来看一些因式分解的具体技巧与方法
提公因式法
提公因式法是因式分解中最为常用也是最好用的方法之一
因为它可以使得复杂的式子简单化
例如对于下面这个式子
是一个四次二项式
a3b-ab3
乍一看很吓人
其实提取公因式后就会变成
ab(a2-b2)
一下子就清晰了
随后再利用平方差公式可以得到答案为
ab(a-b)(a+b)
那么在提取公因式中
我们需要注意的是
这个公因式必须是多项式中各项均含有的因式
这个公因式的数字部分，也就是系数要去多项式各项系数的最大公约数
他的字母部分取各项都含有字母的最低次幂
例如3xy+12x2y3+6xy6的公因式就是3xy
例题练习
- 12x2y+6x3y2
- 6(a+b)+a2+ab
- m(m-n)5+n(n-m)5
平方差公式与完全平方公式法
上面是提取公因式法的具体步骤
下面我们来看一下公式法
这里的公式法主要指的就是
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
以及完全平方公式
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
对于完全平方公式
我们还有如下的变形
a2+b2=(a+b)2-2ab
a2+b2=(a-b)2+2ab
(a+b)2-(a-b)2=4ab
(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)
记住这些公式
对于利用公式法分解因式有着重要的作用
例题：
-
9a2-225
-
x5(y-1)+x3(1-y)
-
x4-2x3y+y2x2
答案
- 6x2y(2-xy)
- (a+b)(6+a)
- (m-n)6
- 9(a-5)(a+5)
- x3(y-1)(x+1)(x-1)
- x2(x-y)2