【举一反三】：最大路径和——数字三角形问题（动态规划）

☆☆☆思路：动态规划  ——> 空间优化（使用一维数组而不是二维数组，这样只使用了O(n)的额外空间。）

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        /**
         *  方法1：DP   时间复杂度和空间复杂度 都是O(n^2)
         */
        /*
        int m = triangle.size();
        // 1. 状态的定义：dp[i][j]表示从点(i,j)到底边的最小路径和
        int[][] dp = new int[m + 1][m + 1];
        // 从三角形的最后一行开始递推。
        for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                // 2. 状态转移方程
                dp[i][j] = Math.min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0][0];
        */
        /**
         * 方法2：DP + 空间优化, 仅使用一维数组. 时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)
         *      由于递推中，计算dp[i][j]时，只用到了下一行的dp[i+1][j]和dp[i+1][j+1]。
         *      而不需要记录整个层的结果，因此dp数组不需要定义N行，只需要一行即可。
         */
        int m = triangle.size();
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = m-1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j+1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}