关于瞬时速度和曲线的切线这两个问题。
引用一位网友写的文章，比较通俗易懂。原文戳这里

瞬时速度

为什么要求瞬时速度？
举例说明：如果一个骑摩托车的人突然撞上一棵树，撞树那一瞬间的速度（瞬时速度）可以决定他的生死；当一颗子弹打中目标的时，子弹碰到目标时的速度（瞬时速度）决定了子弹的杀伤力。所以，研究瞬时速度是有意义的。
怎么计算瞬时速度？
要算平均速度，可以用走过的路程除以所用的时间，但是同样的方法并不能用来计算瞬时速度，因为物体在一瞬间走过的路程是0，而我们定义“一瞬间”的时长也是0，用路程0除以时间0计算瞬时速度吗？0不能作为除数啦！所以瞬时速度的计算得另寻他法。
如果物体以40km/h匀速运动，那么很显然该过程中的任何时刻它的瞬时速度都是40km/h，但如果一个物体做变速运动，那么我们该如何计算指定时刻的瞬时速度呢？比如说如何确定物体运动3秒时的瞬时速度？一个确实可行的办法是可以计算3-4秒内的平均速度，用这个平均速度来近似物体运动3秒时的瞬时速度，毕竟在这1秒内物体的平均速度不太可能和瞬时速度差距太大，但是因为物体是在做变速运动，所以这个近似得到的瞬时速度和真实的瞬时速度间是有差别的，不过我们有方法可以减小这种差异，比如可以计算3-3.5秒内的平均速度，用这个平均速度来近似物体运动3秒时的瞬时速度，因为3-3.5秒比3-4秒时间更少，物体在较少的时间段内的平均速度就可能更接近瞬时速度，所以这种方法计算出的瞬时速度近似值在准确度上大体上比第一种方法得到的更高。你可能已经想到了——为了获得准确度更高的近似值，我们可以尽可能地取更短时间段内的平均速度来近似要求的瞬时速度。但是，只要时间段不是0，我们得到的瞬时速度的近似值和真实值间始终有差异，不过我们可以明确一点——当时间段越来越逼近0的时候，平均速度也就会越来越逼近瞬时速度的真实值，因为速度是连续变化的（不会跳跃），物体在较短时间段内的平均速度就不可能离瞬时速度的真实值太远，所以很显然可以把时间段逼近0的过程中，把平均速度不断逼近的值定义为瞬时速度的真实值，这就是利用逼近（极限）方法求瞬时速度的道理所在。

切线问题

$P(x_0,y_0)$P(x0​,y0​) 和 $Q(x_0 + \triangle x,y_0 + \triangle y)$Q(x0​+△x,y0​+△y)分别是上图曲线上不同的两点（这意味着$\triangle x \neq 0$△x̸​=0），Q可以选在P的右边也可以选在左边（这意味着$\triangle x$△x可正可负），称通过PQ的直线为该曲线的一条割线。在$\triangle x$△x不断逼近于0的过程中，点Q不断逼近于P。
割线PQ的斜率为：$\frac{\triangle y}{\triangle x} = \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}$△x△y​=△xf(x0​+△x)−f(x)​
在点Q逼近于P的过程中，如果上式的极限存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。(割线的极限位置就叫作切线)$\lim_{\triangle x \rightarrow 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}$△x→0lim​△x△y​

导数的定义

设函数$y=f(x)$y=f(x)在点$x_0$x0​的某个邻域内有定义，当自变量$x$x在$x_0$x0​处取得增量$\triangle x$△x(点$x_0+\triangle x$x0​+△x仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量$\triangle y = f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$△y=f(x0​+△x)−f(x0​)；如果$\triangle y$△y与$\triangle x$△x之比当$\triangle x \rightarrow 0$△x→0时的极限存在，则称函数$y=f(x)$y=f(x)在点$x_0$x0​处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$y=f(x)在点$x_0$x0​处的导数，记为$f^\prime(x_0)$f′(x0​)，即$f^\prime(x_0)=\lim_{\triangle x \rightarrow 0} \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}$f′(x0​)=△x→0lim​△x△y​=△x→0lim​△xf(x0​+△x)−f(x0​)​

在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题，导数概念就是这一问题的精确描述。（增量之比就描述了变化快慢程度。对增量之比取极限，就是某点的瞬时值）
它撇开了自变量和因变量所代表几何或物理等方面的特殊意义，纯碎从数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量之比$\frac{\triangle y}{\triangle x}$△x△y​是因变量$y$y在以$x_0$x0​和$x_0 + \triangle x$x0​+△x为端点的区间上的平均变化率，而导数$f^\prime(x_0)$f′(x0​)则是因变量在点$x_0$x0​处的变化率，它反应了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。