三点共线
命题：
A
D
⃗
=
α
A
B
⃗
+
(
1
−
α
)
A
C
⃗
\vec {AD}=\alpha \vec {AB}+(1-\alpha) \vec {AC}
AD
=αAB
+(1−α)AC
证明：
C
B
⃗
=
A
B
⃗
−
A
C
⃗
\vec {CB}=\vec {AB}-\vec {AC}
CB
=AB
−AC
令
α
=
C
D
⃗
C
B
⃗
\alpha=\dfrac {\vec {CD}} {\vec {CB}}
α=CB
CD
，则有
C
D
⃗
=
α
C
B
⃗
\vec {CD}=\alpha \vec{CB}
CD
=αCB
A
D
⃗
=
A
C
⃗
+
C
D
⃗
=
α
A
B
⃗
+
(
1
−
α
)
A
C
⃗
\vec {AD}=\vec {AC}+\vec {CD}=\alpha \vec {AB}+(1-\alpha) \vec {AC}
AD
=AC
+CD
=αAB
+(1−α)AC
□
\square
□
奔驰定理
命题： 若存在
x
O
A
⃗
+
y
O
B
⃗
+
z
O
C
⃗
=
0
x\vec {OA}+y\vec {OB}+z\vec {OC}=0
xOA
+yOB
+zOC
=0，则有
S
△
O
B
C
:
S
△
O
A
C
:
S
△
O
A
B
=
x
:
y
:
z
S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OAC}:S_{\triangle OAB}=x:y:z
S△OBC:S△OAC:S△OAB=x:y:z。
证明：
转化一下，需要证明的其实相当于
S
△
O
B
C
:
S
△
A
B
C
=
x
x
+
y
+
z
S_{\triangle OBC}:S_{\triangle ABC}=\dfrac x {x+y+z}
S△OBC:S△ABC=x+y+zx，即
S
△
O
B
C
:
S
A
B
O
C
=
x
y
+
z
S_{\triangle OBC}:S_{ABOC}=\dfrac x {y+z}
S△OBC:SABOC=y+zx，
S
△
O
A
B
S_{\triangle OAB}
S△OAB 和
S
△
O
A
C
S_{\triangle OAC}
S△OAC 一样，他们的证明和
S
△
O
B
C
S_{\triangle OBC}
S△OBC 的类似，下面只考虑证明
S
△
O
B
C
S_{\triangle OBC}
S△OBC。
做辅助线，延长 A O AO AO 交 B C BC BC 于点 D D D，不难发现 S △ O B C : S A B O C = O D : O A S_{\triangle OBC}:S_{ABOC}=OD:OA S△OBC:SABOC=OD:OA。
根据三点共线的定理，可以设 O D ⃗ = α O B ⃗ + ( 1 − α ) O C ⃗ \vec {OD}=\alpha \vec {OB}+(1-\alpha) \vec {OC} OD =αOB +(1−α)OC ，然后设 O A ⃗ = β ( − O D ⃗ ) = − ( β α O B ⃗ + β ( 1 − α ) O C ⃗ ) \vec {OA}=\beta(-\vec {OD})=-(\beta \alpha \vec {OB}+\beta(1-\alpha)\vec {OC}) OA =β(−OD )=−(βαOB +β(1−α)OC )。
对题目给出的条件进行转化，得到 O A ⃗ = − 1 x ( y O B ⃗ + z O C ⃗ ) \vec {OA}=-\dfrac 1 x(y\vec {OB}+z\vec {OC}) OA =−x1(yOB +zOC )。
于是有 β α O B ⃗ + β ( 1 − α ) O C ⃗ = y x O B ⃗ + z x O C ⃗ \beta \alpha \vec {OB}+\beta(1-\alpha)\vec {OC}=\dfrac y x\vec {OB}+\dfrac z x\vec {OC} βαOB +β(1−α)OC =xyOB +xzOC 。
进一步得到 y x + z x = β α + β ( 1 − α ) = β \dfrac y x+\dfrac z x=\beta \alpha+\beta(1-\alpha)=\beta xy+xz=βα+β(1−α)=β，即 β = y + z x \beta=\dfrac {y+z} x β=xy+z。
回顾 β \beta β 定义， O A ⃗ = β ( − O D ⃗ ) \vec {OA}=\beta(-\vec {OD}) OA =β(−OD )，即 β = O A O D = y + z x \beta=\dfrac {OA} {OD}=\dfrac {y+z} x β=ODOA=xy+z，也就是 O D : O A = x y + z = S △ O B C : S A B O C OD:OA=\dfrac x {y+z}=S_{\triangle OBC}:S_{ABOC} OD:OA=y+zx=S△OBC:SABOC。 □ \square □
brz is dog
\text{brz is dog}
brz is dog定理
容易证明，因为这个人一直做狗。