Treap树
核心是 利用随机数的二叉排序树的各种操作复杂度平均为O(lgn)
Treap模板：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <utility>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 100005 using namespace std; int cnt=,rt=; //节点编号从1开始 struct Tree
{
int key, size, pri, son[]; //保证父亲的pri大于儿子的pri
void set(int x, int y, int z)
{
key=x;
pri=y;
size=z;
son[]=son[]=;
}
}T[MAXN]; void rotate(int p, int &x)
{
int y=T[x].son[!p];
T[x].size=T[x].size-T[y].size+T[T[y].son[p]].size;
T[x].son[!p]=T[y].son[p];
T[y].size=T[y].size-T[T[y].son[p]].size+T[x].size;
T[y].son[p]=x;
x=y;
} void ins(int key, int &x)
{
if(x == )
T[x = cnt++].set(key, rand(), );
else
{
T[x].size++;
int p=key < T[x].key;
ins(key, T[x].son[!p]);
if(T[x].pri < T[T[x].son[!p]].pri)
rotate(p, x);
}
} void del(int key, int &x) //删除值为key的节点
{
if(T[x].key == key)
{
if(T[x].son[] && T[x].son[])
{
int p=T[T[x].son[]].pri > T[T[x].son[]].pri;
rotate(p, x);
del(key, T[x].son[p]);
}
else
{
if(!T[x].son[])
x=T[x].son[];
else
x=T[x].son[];
}
}
else
{
T[x].size--;
int p=T[x].key > key;
del(key, T[x].son[!p]);
}
} int find(int p, int &x) //找出第p小的节点的编号
{
if(p == T[T[x].son[]].size+)
return x;
if(p > T[T[x].son[]].size+)
find(p-T[T[x].son[]].size-, T[x].son[]);
else
find(p, T[x].son[]);
} int find_NoLarger(int key, int &x) //找出值小于等于key的节点个数
{
if(x == )
return ;
if(T[x].key <= key)
return T[T[x].son[]].size++find_NoLarger(key, T[x].son[]);
else
return find_NoLarger(key, T[x].son[]);
}
相关题解：
Splay Tree（伸展树）
核心就是 过程Splay(x, y)，即将x节点转移到y节点的子节点上面（其中y是x的祖先）。
利用其中双旋的优势能够保证查询复杂度均摊为O(lgn)
一开始理解有些困难，其实实际上不做深入的理解就是，双旋的过程就是一个建立相对平衡的二叉树的一个过程。
》对于二叉树，最极端的情况就是线性插入，使得整棵二叉树退化为一条链。比如你查询链的最后一个节点，之后再次查询第一个节点。
1）若只是单旋通过Splay(x, 0)将最后一个节点移动到根节点，需要O(n)复杂度，而查询第一个节点时又需要O(n)复杂度，来来往往就退化成一条链了。
2）若是双旋Splay(x, 0)将最后一个节点移动到根节点上时，移动过程中建立起了相对平衡的二叉树，需要O(n)，也就是查询第一个节点时，大概是需要O(lgn)复杂度。这就降低了复杂度。可以证明，总的每个操作的均摊复杂度是O(lgn)。
具体证明可以参见 杨思雨《伸展树的基本操作与应用》
I 用于维护单调队列：（以key为维护对象保证单调）
常用版：（支持相同值）
Struct Tree{
int key, size, fa, son[2];
}
void PushUp(int x);
void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋
void Splay(int x, int To) //将x节点插入到To的子节点中
int find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
int prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0 若有将其转移到根处
int succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0 若有将其转移到根处
void Insert(int key) //插入key 并且将该节点转移到根处
void Delete(int key) //删除值为key的节点 若有重点只删其中一个 x的前驱移动到根处
int GetPth(int p) //获得第p小的节点 并将其转移到根处
int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数 并将其转移到根处 若<key只需将<=换为<
int cnt=, rt=; struct Tree
{
int key, size, fa, son[];
void set(int _key, int _size, int _fa)
{
key=_key;
size=_size;
fa=_fa;
son[]=son[]=;
}
}T[MAXN]; inline void PushUp(int x)
{
T[x].size=T[T[x].son[]].size+T[T[x].son[]].size+;
} inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋
{
int y=T[x].fa;
T[y].son[!p]=T[x].son[p];
T[T[x].son[p]].fa=y;
T[x].fa=T[y].fa;
if(T[x].fa)
T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[] == y]=x;
T[x].son[p]=y;
T[y].fa=x;
PushUp(y);
PushUp(x);
} void Splay(int x, int To) //将x节点插入到To的子节点中
{
while(T[x].fa != To)
{
if(T[T[x].fa].fa == To)
Rotate(x, T[T[x].fa].son[] == x);
else
{
int y=T[x].fa, z=T[y].fa;
int p=(T[z].son[] == y);
if(T[y].son[p] == x)
Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋
else
Rotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋
}
}
if(To == ) rt=x;
} int find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
{
int x=rt;
while(x && T[x].key != key)
x=T[x].son[key > T[x].key];
if(x) Splay(x, );
return x;
} int prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0 若有将其转移到根处
{
int x=T[rt].son[];
if(!x) return ;
while(T[x].son[])
x=T[x].son[];
Splay(x, );
return x;
} int succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0 若有将其转移到根处
{
int x=T[rt].son[];
if(!x) return ;
while(T[x].son[])
x=T[x].son[];
Splay(x, );
return x;
} void Insert(int key) //插入key 并且将该节点转移到根处
{
if(!rt)
T[rt = cnt++].set(key, , );
else
{
int x=rt, y=;
while(x)
{
y=x;
x=T[x].son[key > T[x].key];
}
T[x = cnt++].set(key, , y);
T[y].son[key > T[y].key]=x;
Splay(x, );
}
} void Delete(int key) //删除值为key的节点 若有重点只删其中一个 x的前驱移动到根处
{
int x=find(key);
if(!x) return;
int y=T[x].son[];
while(T[y].son[])
y=T[y].son[];
int z=T[x].son[];
while(T[z].son[])
z=T[z].son[];
if(!y && !z)
{
rt=;
return;
}
if(!y)
{
Splay(z, );
T[z].son[]=;
PushUp(z);
return;
}
if(!z)
{
Splay(y, );
T[y].son[]=;
PushUp(y);
return;
}
Splay(y, );
Splay(z, y);
T[z].son[]=;
PushUp(z);
PushUp(y);
} int GetPth(int p) //获得第p小的节点 并将其转移到根处
{
if(!rt) return ;
int x=rt, ret=;
while(x)
{
if(p == T[T[x].son[]].size+)
break;
if(p>T[T[x].son[]].size+)
{
p-=T[T[x].son[]].size+;
x=T[x].son[];
}
else
x=T[x].son[];
}
Splay(x, );
return x;
} int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数 并将其转移到根处 若<key只需将<=换为<
{
if(!rt) return ;
int x=rt, ret=, y;
while(x)
{
y=x;
if(T[x].key <= key)
{
ret+=T[T[x].son[]].size+;
x=T[x].son[];
}
else
x=T[x].son[];
}
Splay(y, );
return ret;
}
完全版：（支持相同值，支持区间删除，支持懒惰标记）
Struct Tree{
int key, num, size, fa, son[2];
}
void PushUp(int x);
void PushDown(int x);
int Newnode(int key, int fa); //新建一个节点并返回
void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋
void Splay(int x, int To); //将x节点移动到To的子节点中
int GetPth(int p, int To); //返回第p小的节点 并移动到To的子节点中
int Find(int key); //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
int Prev(); //返回根节点的前驱
int Succ(); //返回根结点的后继
void Insert(int key); //插入key值
void Delete(int key); //删除值为key的节点
int GetRank(int key); //获得值<=key的节点个数
void Delete(int l, int r); //删除值在[l, r]中的节点
int cnt, rt;
int Add[MAXN]; struct Tree{
int key, num, size, fa, son[];
}T[MAXN]; inline void PushUp(int x)
{
T[x].size=T[T[x].son[]].size+T[T[x].son[]].size+T[x].num;
} inline void PushDown(int x)
{
if(Add[x])
{
if(T[x].son[])
{
T[T[x].son[]].key+=Add[x];
Add[T[x].son[]]+=Add[x];
}
if(T[x].son[])
{
T[T[x].son[]].key+=Add[x];
Add[T[x].son[]]+=Add[x];
}
Add[x]=;
}
} inline int Newnode(int key, int fa) //新建一个节点并返回
{
++cnt;
T[cnt].key=key;
T[cnt].num=T[cnt].size=;
T[cnt].fa=fa;
T[cnt].son[]=T[cnt].son[]=;
return cnt;
} inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋
{
int y=T[x].fa;
PushDown(y);
PushDown(x);
T[y].son[!p]=T[x].son[p];
T[T[x].son[p]].fa=y;
T[x].fa=T[y].fa;
if(T[x].fa)
T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[] == y]=x;
T[x].son[p]=y;
T[y].fa=x;
PushUp(y);
PushUp(x);
} void Splay(int x, int To) //将x节点移动到To的子节点中
{
while(T[x].fa != To)
{
if(T[T[x].fa].fa == To)
Rotate(x, T[T[x].fa].son[] == x);
else
{
int y=T[x].fa, z=T[y].fa;
int p=(T[z].son[] == y);
if(T[y].son[p] == x)
Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋
else
Rotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋
}
}
if(To == ) rt=x;
} int GetPth(int p, int To) //返回第p小的节点 并移动到To的子节点中
{
if(!rt || p > T[rt].size) return ;
int x=rt;
while(x)
{
PushDown(x);
if(p >= T[T[x].son[]].size+ && p <= T[T[x].son[]].size+T[x].num)
break;
if(p > T[T[x].son[]].size+T[x].num)
{
p-=T[T[x].son[]].size+T[x].num;
x=T[x].son[];
}
else
x=T[x].son[];
}
Splay(x, );
return x;
} int Find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
{
if(!rt) return ;
int x=rt;
while(x)
{
PushDown(x);
if(T[x].key == key) break;
x=T[x].son[key > T[x].key];
}
if(x) Splay(x, );
return x;
} int Prev() //返回根节点的前驱 非重点
{
if(!rt || !T[rt].son[]) return ;
int x=T[rt].son[];
while(T[x].son[])
{
PushDown(x);
x=T[x].son[];
}
Splay(x, );
return x;
} int Succ() //返回根结点的后继 非重点
{
if(!rt || !T[rt].son[]) return ;
int x=T[rt].son[];
while(T[x].son[])
{
PushDown(x);
x=T[x].son[];
}
Splay(x, );
return x;
} void Insert(int key) //插入key值
{
if(!rt)
rt=Newnode(key, );
else
{
int x=rt, y=;
while(x)
{
PushDown(x);
y=x;
if(T[x].key == key)
{
T[x].num++;
T[x].size++;
break;
}
T[x].size++;
x=T[x].son[key > T[x].key];
}
if(!x)
x=T[y].son[key > T[y].key]=Newnode(key, y);
Splay(x, );
}
} void Delete(int key) //删除值为key的节点1个
{
int x=Find(key);
if(!x) return;
if(T[x].num>)
{
T[x].num--;
PushUp(x);
return;
}
int y=T[x].son[];
while(T[y].son[])
y=T[y].son[];
int z=T[x].son[];
while(T[z].son[])
z=T[z].son[];
if(!y && !z)
{
rt=;
return;
}
if(!y)
{
Splay(z, );
T[z].son[]=;
PushUp(z);
return;
}
if(!z)
{
Splay(y, );
T[y].son[]=;
PushUp(y);
return;
}
Splay(y, );
Splay(z, y);
T[z].son[]=;
PushUp(z);
PushUp(y);
} int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数
{
if(!Find(key))
{
Insert(key);
int tmp=T[T[rt].son[]].size;
Delete(key);
return tmp;
}
else
return T[T[rt].son[]].size+T[rt].num;
} void Delete(int l, int r) //删除值在[l, r]中的所有节点 l!=r
{
if(!Find(l)) Insert(l);
int p=Prev();
if(!Find(r)) Insert(r);
int q=Succ();
if(!p && !q)
{
rt=;
return;
}
if(!p)
{
T[rt].son[]=;
PushUp(rt);
return;
}
if(!q)
{
Splay(p, );
T[rt].son[]=;
PushUp(rt);
return;
}
Splay(p, q);
T[p].son[]=;
PushUp(p);
PushUp(q);
}
速度相对来说都还不错，POJ这些都3~500ms，郁闷的出纳员900多ms
相关题解：
II 用于维护序列：（以序列下标为对象维护，相当于对区间操作）（能够完成线段树的操作及其不能完成的操作）
Struct Tree{
int key, sum, size, fa, son[2];
}
支持操作：
void PushUp(int x);
void PushDown(int x);
int MakeTree(int l, int r, int a[]); //新建一个子树返回根节点
void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋
void Splay(int x, int To); //将x节点移动到To的子节点中
int Select(int p, int To); //将第p个数移动到To的子节点中 并返回该节点
int Find(int key); //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
int Prev(); //返回根节点的前驱
int Succ(); //返回根结点的后继
void Insert(int p, int l, int r, int a[]) //将a[l .. r]的数插入到下标为p后面
void Delete(int l, int r); //删除区间[l, r]中的节点
int Query(int l, int r); //返回[l, r]的和
待补充。。
Size Balance Tree
和上述两种二叉树比起来，SBT可能是最像真正平衡二叉树吧。
SBT能够保证树的高度在lgn，这样对于插入，删除操作都能够准确保证时间复杂度在O(lgn)
Maintain操作事实上理解起来也是挺简单的，至于证明参见CQF神牛的《SBT》
int cnt, rt; struct Tree
{
int key, size, son[];
}T[MAXN]; inline void PushUp(int x)
{
T[x].size=T[T[x].son[]].size+T[T[x].son[]].size+;
} inline int Newnode(int key)
{
++cnt;
T[cnt].key=key;
T[cnt].size=;
T[cnt].son[]=T[cnt].son[]=;
return cnt;
} void Rotate(int p, int &x)
{
int y=T[x].son[!p];
T[x].son[!p]=T[y].son[p];
T[y].son[p]=x;
PushUp(x);
PushUp(y);
x=y;
} void Maintain(int &x, int p) //维护SBT的!p子树
{
if(T[T[T[x].son[p]].son[p]].size > T[T[x].son[!p]].size)
Rotate(!p, x);
else if(T[T[T[x].son[p]].son[!p]].size > T[T[x].son[!p]].size)
Rotate(p, T[x].son[p]), Rotate(!p, x);
else return;
Maintain(T[x].son[], );
Maintain(T[x].son[], );
Maintain(x, );
Maintain(x, );
} inline int Prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0
{
int x=T[rt].son[];
if(!x) return ;
while(T[x].son[])
x=T[x].son[];
return x;
} inline int Succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0
{
int x=T[rt].son[];
if(!x) return ;
while(T[x].son[])
x=T[x].son[];
return x;
} void Insert(int key, int &x)
{
if(!x) x=Newnode(key);
else
{
T[x].size++;
Insert(key, T[x].son[key > T[x].key]);
Maintain(x, key > T[x].key);
}
} bool Delete(int key, int &x) //删除值为key的节点 key可以不存在
{
if(!x) return ;
if(T[x].key == key)
{
if(!T[x].son[])
{
x=T[x].son[];
return ;
}
if(!T[x].son[])
{
x=T[x].son[];
return ;
}
int y=Prev();
T[x].size--;
return Delete(T[x].key, T[x].son[]);
}
else
if(Delete(key, T[x].son[key > T[x].key]))
{
T[x].size--;
return ;
}
} int GetPth(int p, int &x) //返回第p小的节点
{
if(!x) return ;
if(p == T[T[x].son[]].size+)
return x;
if(p > T[T[x].son[]].size+)
return GetPth(p-T[T[x].son[]].size-, T[x].son[]);
else
return GetPth(p, T[x].son[]);
} int GetRank(int key, int &x) //找出值<=key的节点个数
{
if(!x) return ;
if(T[x].key <= key)
return T[T[x].son[]].size++GetRank(key, T[x].son[]);
else
return GetRank(key, T[x].son[]);
}
相关题解：
上述题均为用于测试平衡树基本操作的题目。
提高题：（暂时未写）