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在标准线性模型中，我们假设 。当线性假设无法满足时，可以考虑使用其他方法。

• 多项式回归

扩展可能是假设某些多项式函数，

同样，在标准线性模型方法（使用GLM的条件正态分布）中，参数  可以使用最小二乘法获得，其中  在  。

即使此多项式模型不是真正的多项式模型，也可能仍然是一个很好的近似值 。实际上，根据 Stone-Weierstrass定理，如果  在某个区间上是连续的，则有一个统一的近似值  ，通过多项式函数。

仅作说明，请考虑以下数据集

1.    
2.   db = data.frame(x=xr,y=yr)
3.   plot(db)

与标准回归线

1.   reg = lm(y ~ x,data=db)
2.   abline(reg,col="red")

 

考虑一些多项式回归。如果多项式函数的次数足够大，则可以获得任何一种模型，

reg=lm(y~poly(x,5),data=db)

 

但是，如果次数太大，那么会获得太多的“波动”，

reg=lm(y~poly(x,25),data=db)

 

并且估计值可能不可靠：如果我们更改一个点，则可能会发生（局部）更改

1.    
2.   yrm=yr;yrm[31]=yr[31]-2
3.   lines(xr,predict(regm),col="red")

• 局部回归

实际上，如果我们的兴趣是局部有一个很好的近似值  ，为什么不使用局部回归？

使用加权回归可以很容易地做到这一点，在最小二乘公式中，我们考虑

 

• 在这里，我考虑了线性模型，但是可以考虑任何多项式模型。在这种情况下，优化问题是

可以解决，因为

例如，如果我们想在某个时候进行预测 ， 考虑 。使用此模型，我们可以删除太远的观测值，

 

更一般的想法是考虑一些核函数  给出权重函数，以及给出邻域长度的一些带宽（通常表示为h），

这实际上就是所谓的 Nadaraya-Watson 函数估计器 。
在前面的案例中，我们考虑了统一核 ，

但是使用这种权重函数具有很强的不连续性不是最好的选择，尝试高斯核，

这可以使用

1.    
2.   w=dnorm((xr-x0))
3.   reg=lm(y~1,data=db,weights=w)

在我们的数据集上，我们可以绘制

1.    
2.   w=dnorm((xr-x0))
3.   plot(db,cex=abs(w)*4)
4.   lines(ul,vl0,col="red")
5.   axis(3)
6.   axis(2)
7.   reg=lm(y~1,data=db,weights=w)
8.   u=seq(0,10,by=.02)
9.   v=predict(reg,newdata=data.frame(x=u))
10.   lines(u,v,col="red",lwd=2)

在这里，我们需要在点2进行局部回归。下面的水平线是回归（点的大小与宽度成比例）。红色曲线是局部回归的演变

 

让我们使用动画来可视化曲线。

但是由于某些原因，我无法在Linux上轻松安装该软件包。我们可以使用循环来生成一些图形

1.    
2.   name=paste("local-reg-",100+i,".png",sep="")
3.   png(name,600,400)
4.    
5.    
6.   for(i in 1:length(vx0)) graph (i)

然后，我使用

 

当然，可以考虑局部线性模型，

1.    
2.   return(predict(reg,newdata=data.frame(x=x0)))}

 

甚至是二次（局部）回归，

1.    
2.   lm(y~poly(x,degree=2), weights=w)

 

当然，我们可以更改带宽

 

请注意，实际上，我们必须选择权重函数（所谓的核）​​。但是，有（简单）方法来选择“最佳”带宽h。交叉验证的想法是考虑

  是使用局部回归获得的预测。  

我们可以尝试一些真实的数据。

1.   library(XML)
2.    
3.   data = readHTMLTable(html)

整理数据集，

1.    
2.   plot(data$no,data$mu,ylim=c(6,10))
3.   segments(data$no,data$mu-1.96*data$se,

 

我们计算标准误差，反映不确定性。

1.    
2.   for(s in 1:8){reg=lm(mu~no,data=db,
3.   lines((s predict(reg)[1:12]

所有季节都应该被认为是完全独立的，这不是一个很好的假设。

 smooth(db$no,db$mu,kernel = "normal",band=5)
 

我们可以尝试查看带宽较大的曲线。

1.   db$mu[95]=7
2.    
3.   plot(data$no,data$mu
4.    
5.   lines(NW,col="red")

样条平滑

接下来，讨论回归中的平滑方法。假设 ，  是一些未知函数，但假定足够平滑。例如，假设  是连续的，  存在，并且是连续的，   存在并且也是连续的等等。如果  足够平滑，  可以使用泰勒展开式。 因此，对于 

也可以写成

第一部分只是一个多项式。

使用 黎曼积分，观察到

 

因此，

我们有线性回归模型。一个自然的想法是考虑回归 ，对于  

给一些节点 。

plot(db)

 

如果我们考虑一个节点，并扩展阶数1，

1.    
2.    
3.   B=bs(xr,knots=c(3),Boundary.knots=c(0,10),degre=1)
4.    
5.   lines(xr[xr<=3],predict(reg)[xr<=3],col="red")
6.   lines(xr[xr>=3],predict(reg)[xr>=3],col="blue")

可以将用该样条获得的预测与子集（虚线）上的回归进行比较。

1.    
2.    
3.   lines(xr[xr<=3],predict(reg)[xr<=3
4.    
5.    
6.   lm(yr~xr,subset=xr>=3)
7.    

 

这是不同的，因为这里我们有三个参数（关于两个子集的回归）。当要求连续模型时，失去了一个*度。观察到可以等效地写

1.    
2.   lm(yr~bs(xr,knots=c(3),Boundary.knots=c(0,10)

 

回归中出现的函数如下

 

现在，如果我们对这两个分量进行回归，我们得到

1.    
2.   matplot(xr,B
3.    
4.   abline(v=c(0,2,5,10),lty=2)

如果加一个节点，我们得到

 

预测是

1.    
2.    
3.   lines(xr,predict(reg),col="red")

我们可以选择更多的节点

1.    
2.    
3.   lines(xr,predict(reg),col="red")

 

我们可以得到一个置信区间

1.    
2.    
3.   polygon(c(xr,rev(xr)),c(P[,2],rev(P[,3]))
4.    
5.   points(db)
6.    

 

如果我们保持先前选择的两个节点，但考虑泰勒的2阶的展开，我们得到

1.    
2.    
3.   matplot(xr,B,type="l")
4.   abline(v=c(0,2,5,10),lty=2)

 

如果我们考虑常数和基于样条的第一部分，我们得到

1.    
2.    
3.   B=cbind(1,B)
4.   lines(xr,B[,1:k]%*%coefficients(reg)[1:k],col=k-1,lty=k-1)

 

如果我们将常数项，第一项和第二项相加，则我们得到的部分在第一个节点之前位于左侧，

1.   k=3
2.   lines(xr,B[,1:k]%*%coefficients(reg)[1:k]

通过基于样条的矩阵中的三个项，我们可以得到两个节点之间的部分，

1.    
2.   lines(xr,B[,1:k]%*%coefficients(reg)[1:k]

 

最后，当我们对它们求和时，这次是最后一个节点之后的右侧部分，

1.   k=5
2.    

 

这是我们使用带有两个（固定）节点的二次样条回归得到的结果。可以像以前一样获得置信区间

1.    
2.    
3.   polygon(c(xr,rev(xr)),c(P[,2],rev(P[,3]))
4.    
5.   points(db)
6.   lines(xr,P[,1],col="red")
7.    

 

使用函数 ，可以确保点的连续性 。

 

再一次，使用线性样条函数，可以增加连续性约束，

1.    
2.   lm(mu~bs(no,knots=c(12*(1:7)+.5),Boundary.knots=c(0,97),
3.    
4.    
5.   lines(c(1:94,96),predict(reg),col="red")

 

但是我们也可以考虑二次样条，

1.    
2.    
3.   abline(v=12*(0:8)+.5,lty=2)
4.    
5.   lm(mu~bs(no,knots=c(12*(1:7)+.5),Boundary.knots=c(0,97),

 

---

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