4.7 设计并实现一个算法，找出二叉树中某两个结点的第一个共同祖先。不得将额外的结点储存在另外的数据结构中。注意：这不一定是二叉查找树。
解答
本题的关键应当是在Avoid storing additional nodes in a data structure 这句话上。我的理解是，不允许开额外的空间(比如说一个数组)来存储作为中间变量的结点。 虽然我也怀疑它是不是说不允许在结点数据结构Node中加入额外的东西， 比如说父结点的指针。Anyway，我们先从最简单的入手，再一步步加入限制条件。
如果没有任何限制条件，那我觉得最直观的思路就是把其中一个点的所有祖先(包含它自身) 都放入一个哈希表，然后再一步步查找另一个点的祖先结点， 第一个在哈希表中出现的祖先结点即为题目所求。
代码如下，用map模拟(当然，效率比不上哈希表)：
算法：
//要使用额外的空间
BinarySearchTree* findFirstAncestor(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
if(x==NULL||y==NULL)
return NULL;
map<BinarySearchTree*,bool> mp;
while(x)
{
mp[x]=true;
x=x->parent;
}
while(y)
{
if(mp[y])
return y;
y=y->parent;
}
return y;
}
这里用了一个map来存储中间变量，如果题目不允许开额外的辅助空间，那该如何做呢？ 那就老老实实地一个个地试。不断地取出其中一个结点的父结点， 然后判断这个结点是否也为另一个结点的父结点。代码如下：
bool father(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
if(x==NULL||y==NULL)
return false;
if(x==y)
return true;
return father(x->left,y)||father(x->right,y);
}
//将每一x的祖先拿出来判断是否为y的祖先，从下到上的方法
BinarySearchTree* find_first_ancestor(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
while(x)
{
if(father(x,y))
return x;
x=x->parent;
}
return x;
}
让我们把条件再限制地严苛一些，如果数据结构Node中不允许有指向父亲结点的指针， 那么我们又该如何处理？其实也很简单，首先根结点一定为任意两个结点的共同祖先， 从根结点不断往下找，直到找到最后一个这两结点的共同祖先，即为题目所求。代码如下：
BinarySearchTree* find_ancestor(BinarySearchTree *root,BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y,BinarySearchTree *&ret)
{
if(x==NULL||y==NULL)
return NULL;
if(root&&father(root,x)&&father(root,y))
{
ret=root;
find_ancestor(root->left,x,y,ret);
find_ancestor(root->right,x,y,ret);
}
return ret;
}
这里用到了递归，ans最终保存的是这两个结点从根结点算起最后找到的那个祖先。 因为从根结点开始，每次找到满足要求的结点，ans都会被更新。
C++完整代码：
#include<iostream>
#include<new>
#include<map>
using namespace std; struct BinarySearchTree
{
int elem;
BinarySearchTree *parent;
BinarySearchTree *left;
BinarySearchTree *right;
BinarySearchTree(int x):elem(x),parent(NULL),left(NULL),right(NULL) {}
}; void insert(BinarySearchTree *&root,int z)
{
BinarySearchTree *y=new BinarySearchTree(z);
if(root==NULL)
{
root=y;
return;
}
else if(root->left==NULL&&z<root->elem)
{
root->left=y;
y->parent=root;
return;
}
else if(root->right==NULL&&z>root->elem)
{
root->right=y;
y->parent=root;
return;
}
if(z<root->elem)
insert(root->left,z);
else
insert(root->right,z);
} void createBST(BinarySearchTree *&root)
{
int arr[]= {,,,,,,,,,};
for(auto a:arr)
insert(root,a);
} void inorder(BinarySearchTree *root)
{
if(root)
{
inorder(root->left);
cout<<root->elem<<" ";
inorder(root->right);
}
} BinarySearchTree* findMin(BinarySearchTree *root)
{
if(root==NULL||!root->left)
return root;
while(root->left)
{
root=root->left;
}
return root;
} BinarySearchTree* findMax(BinarySearchTree *root)
{
if(root==NULL||!root->right)
return root;
while(root->right)
{
root=root->right;
}
return root;
} BinarySearchTree* findProcessor(BinarySearchTree* x)
{
if(x->left)
return findMax(x->left);
BinarySearchTree *y=x->parent;
while(y&&y->left==x)
{
x=y;
y=x->parent;
}
return y;
} BinarySearchTree* findSuccessor(BinarySearchTree *x)
{
if(x->right)
return findMin(x->right);
BinarySearchTree *y=x->parent;
while(y&&y->right==x)
{
x=y;
y=x->parent;
}
return y;
}
//要使用额外的空间
BinarySearchTree* findFirstAncestor(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
if(x==NULL||y==NULL)
return NULL;
map<BinarySearchTree*,bool> mp;
while(x)
{
mp[x]=true;
x=x->parent;
}
while(y)
{
if(mp[y])
return y;
y=y->parent;
}
return y;
}
bool father(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
if(x==NULL||y==NULL)
return false;
if(x==y)
return true;
return father(x->left,y)||father(x->right,y);
}
//将每一x的祖先拿出来判断是否为y的祖先，从下到上的方法
BinarySearchTree* find_first_ancestor(BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y)
{
while(x)
{
if(father(x,y))
return x;
x=x->parent;
}
return x;
}
//从上到下的方法
BinarySearchTree* find_ancestor(BinarySearchTree *root,BinarySearchTree *x,BinarySearchTree *y,BinarySearchTree *&ret)
{
if(x==NULL||y==NULL)
return NULL;
if(root&&father(root,x)&&father(root,y))
{
ret=root;
find_ancestor(root->left,x,y,ret);
find_ancestor(root->right,x,y,ret);
}
return ret;
} BinarySearchTree* search(BinarySearchTree* head, int x)
{
if(head == NULL) return NULL;
if(x == head->elem)
return head;
else if(x <= head->elem)
return search(head->left, x);
else
return search(head->right, x);
}
int main()
{
BinarySearchTree *root=NULL;
createBST(root);
inorder(root);
cout<<endl;
BinarySearchTree *n1 = search(root, );
BinarySearchTree*n2 = search(root, );
cout<<n1->elem<<" "<<n2->elem<<endl;
BinarySearchTree *ans = find_first_ancestor(n1, n2);
cout<<ans->elem<<endl;
BinarySearchTree *ans1 = NULL;
find_ancestor(root, n1, n2, ans1);
cout<<ans1->elem<<endl;
BinarySearchTree *pre=findProcessor(n2);
cout<<pre->elem<<endl;
BinarySearchTree *post=findSuccessor(n2);
cout<<post->elem<<endl;
return ;
}