1、生成树的概念
连通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。
生成树是连通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。 生成树各边的权值总和称为生成树的权。权最小的生成树称为最小生成树。
2、最小生成树的性质
用哲学的观点来说，每个事物都有自己特有的性质，那么图的最小生成树也是不例外的。按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点、n-1 条边。
3、构造最小生成树，要解决以下两个问题：
(1).尽可能选取权值小的边，但不能构成回路（也就是环）。
(2).选取n-1条恰当的边以连接网的 n个顶点。
求最小生成树的算法一般都使用贪心策略，有Prim算法和Krusal算法等。
普里姆算法的基本思想：
1）清空生成树，任取一个顶点加入生成树；
2）在那些一个端点在生成树里，另一个端点不在生成树里的边中，选取一条权最小的边，将它和另一个端点加进生成树；
3）重复步骤2，直到所有的顶点都进入了生成树为止，此时的生成树就是最小生成树。
即:从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点v加入到生成树的顶点集合U中。以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点 v加入到集合U中。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 #define MAX 100 5 #define MAXCOST 0x7fffffff 6 7 int graph[MAX][MAX]; 8 9 int Prim(int graph[][MAX], int n)//二维数组作为参数如何使用？ 10 { 11 int sta[MAX];//存放某一条边的起点值 12 int lowcost[MAX];//存放以i为终点的的边的最小的权值 13 int min,minid,sum=0;//min用来存放最小权值，minid用来存放权值最小的边所对应的终点 14 for(int i=2;i<=n;i++) 15 { 16 lowcost[i]=graph[1][i];//初始化lowcost[i]，并把他们的初始值都看作是从节点1出发到i的权值 17 sta[i]=1;//起点赋值为1 18 } 19 sta[1]=0;//节点1进入最小生成树 20 for(int h=2;h<=n;h++) 21 { 22 min=MAXCOST;//找到最小的，先来个较大值 23 for(int j=2;j<=n;j++) 24 { 25 if(lowcost[j]<min&&lowcost[j]!=0)//如果找到权值较小的就赋值给min，并把终点j赋值给minid。 26 { min=lowcost[j]; minid=j;} 27 } 28 lowcost[j]=0;//这条边已经进入最小生成树，所以把值置为0 29 sum+=min; 30 for(int s=2;s<=n;s++) 31 { 32 if(lowcost[s]<graph[minid][s])//如果原先的lowcost[j]的值大于以minid为起点到终点j的权值，则更新它，并把起点更新为minid 33 { 34 lowcost[s]=graph[minid][s]; 35 sta[s]=minid; 36 } 37 } 38 } 39 return sum; 40 41 } 42 int main() 43 { 44 int m,n,x,y,cost; 45 cout<<"请输入节点数目和边的数目："<<endl; 46 cin>>m>>n; 47 for(int i=1;i<=m;i++) 48 for(int j=1;j<=m;j++) 49 graph[i][j]=MAXCOST; 50 51 for(int k=1;k<=n;k++) 52 { 53 cin>>x>>y>>cost; 54 graph[x][y]=graph[y][x]=cost; 55 } 56 cost= Prim(graph,n); 57 cout<<cost<<endl; 58 return 0; 59 }
prim函数应当好好理解，并且要多些几遍才能熟练掌握。
Kruskal算法的步骤：
1.对所有边进行从小到大的排序。
2.每次选一条边（最小的边），如果如果形成环，就不加入(u,v)中，否则加入。那么加入的(u,v)一定是最佳的。
1 #include <iostream> 2 #include<algorithm> 3 using namespace std; 4 5 #define MAX 100 6 struct edge 7 { 8 int x,y; 9 int w; 10 }e[MAX]; 11 int fa[MAX]; 12 int rank[MAX]; 13 int sum; 14 int cmp(edge a,edge b)//排序函数 15 { 16 if(a.w!=b.w) 17 return a.w<b.w; 18 else 19 { 20 return a.x<b.x; 21 } 22 } 23 void make_set(int x)//初始化节点 24 { 25 fa[x]=x; 26 rank[x]=0; 27 } 28 int find(int x)//查找父节点 29 { 30 return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]); 31 } 32 33 34 void union_set(int x,int y,int w)//合并节点 35 { 36 if(rank[x]>rank[y]) 37 { 38 rank[y]=x; 39 } 40 else if(rank[x]<rank[y]) 41 { 42 rank[x]=y; 43 } 44 else 45 { 46 rank[x]++; 47 rank[y]=x; 48 } 49 sum+=w;//总权值加上w 50 } 51 int main() 52 { 53 int x,y,w; 54 int m,n;//n是点,m是边 55 cin>>n>>m; 56 for(int i=0;i<m;i++) 57 { 58 cin>>x>>y>>w; 59 e[i].x=x; 60 e[i].y=y; 61 e[i].w=w; 62 make_set(x); 63 make_set(y); 64 } 65 sort(e,e+m,cmp); 66 sum=0; 67 for(int i=0;i<n;i++) 68 { 69 x=find(e[i].x); 70 y=find(e[i].y); 71 w=e[i].w; 72 if(x!=y) 73 { 74 union_set(x,y,w); 75 } 76 } 77 cout<<sum<<endl; 78 return 0; 79 }