cf 460 E. Congruence Equation 数学题

题意:

给出一个x 计算<=x的满足下列的条件正整数n的个数



\(p是素数,2 ≤ p ≤ 10^{6} + 3, 1 ≤ a, b < p, 1 ≤ x ≤ 10^{12}\)

思路:

题目中存在两个循环节 \(n % p\) 和 \(a ^ n % p\), 循环节分别为\(p,p-1\)

我们枚举\(i = n\ (mod)\ (p - 1)\)

可以得到两个方程

令$mm = \frac{b}{a ^ i} $

设 $$n = p * k + mm , n = (p - 1) * q + i $$

于是\(p * k + mm = p * q - q + i\)

在模p意义下可以得到

\(q \equiv (i - mm)\ (mod) p\)

然后就可以根据限制条件计算出有多少个满足条件的q 即答案了

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

using namespace std;

LL qpow(LL x,LL y,LL mod){

    x %= mod;

    LL ans = 1;

    while(y){

        if(y & 1) ans = ans * x % mod;

        x = x * x % mod;

        y >>= 1;

    }

    return ans;

}

int main(){

    LL a,b,p,X;

    cin>>a>>b>>p>>X;

    LL x,y,m = b,inva = qpow(a, p - 2,p);

    LL ans = 0;

    for(int i = 0;i < p - 1;i++){

        LL mm = (i - m + p) % p;

        LL R = (floor)((1.0 * (X - i) / (p -1) - mm)/p) ;

        LL L = mm / p;

       // for(int j = L;j <= R;j++) cout<<(p * j + mm) * (p - 1) + i<<" ";

        m = m * inva % p;

        ans += R - L + 1;

    }

    cout<<ans<<endl;

    return 0;

}