2021SC@SDUSC

最小多项式

根据哈密顿-凯莱定理，任给数域P上的一个n级矩阵A，总可以找到数域P上一个多项式使如果多项式使我们就称以A为根。以A为根的多项式是很多的，其中次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。

讨论如何应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化.

引理1：矩阵A的最小多项式是唯一的。

引理2：设是矩阵A的最小多项式，那么以A为根的充分必要条件是整除.

由此可知，矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式。

例1：数量矩阵kE的最小多项式为x-k，特别地，单位矩阵的最小多项式为x-1，零矩阵的最小多项式为x.

另一方面，如果A的最小多项式是1次多项式，那么A一定是数量矩阵。

代码

class GF2EX {
public:

   GF2EX(); // initial value 0

   GF2EX(const GF2EX& a); // copy
   explicit GF2EX(const GF2E& a);  // promotion
   explicit GF2EX(GF2 a); 
   explicit GF2EX(long a); 

   GF2EX& operator=(const GF2EX& a); // assignment
   GF2EX& operator=(const GF2E& a);
   GF2EX& operator=(GF2 a);
   GF2EX& operator=(long a);

   ~GF2EX(); // destructor


   GF2EX(GF2EX&& a); 
   // move constructor (C++11 only)
   // declared noexcept unless NTL_EXCEPTIONS flag is set

#ifndef NTL_DISABLE_MOVE_ASSIGN
   GF2EX& operator=(GF2EX&& a); 
   // move assignment (C++11 only)
   // declared noexcept unless NTL_EXCEPTIONS flag is set
#endif


   GF2EX(INIT_MONO_TYPE, long i, const GF2E& c); 
   GF2EX(INIT_MONO_TYPE, long i, GF2 c); 
   GF2EX(INIT_MONO_TYPE, long i, long c); 
   // initialize to c*X^i, invoke as GF2EX(INIT_MONO, i, c)

   GF2EX(INIT_MONO_TYPE, long i); 
   // initialize to X^i, invoke as GF2EX(INIT_MONO, i)




   // typedefs to aid in generic programming

   typedef GF2E coeff_type;
   typedef GF2EXModulus modulus_type;
   // ...

};