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CCF CSP 201703-5 引水入城
问题描述
MF城建立在一片高原上。由于城市唯一的水源是位于河谷地带的湖中，人们在坡地上修筑了一片网格状的抽水水管，以将湖水抽入城市。如下图所示：
这片管网由 n 行 m 列节点（红色，图中 n = 5，m = 6），横向管道（紫色）和纵向管道（橙色）构成。
行和列分别用 1 到 n 的整数和 1 到 m 的整数表示。第 1 行的任何一个节点均可以抽取湖水，湖水到达第 n 行的任何一个节点即算作引入了城市。
除第一行和最后一行外，横向相邻或纵向相邻的两个节点之间一定有一段管道，每一段管道都有各自的最大的抽水速率，并需要根据情况选择抽水还是放水。对于纵向的管道（橙色），允许从上方向下方抽水或从下方向上方放水；如果从图中的上方向下方抽水，那么单位时间内能通过的水量不能超过管道的最大速率；如果从下方向上方放水，因为下方海拔较高，因此可以允许有任意大的水量。对于横向的管道（紫色），允许从左向右或从右向左抽水，不允许放水，两种情况下单位时间流过的水量都不能超过管道的最大速率。
现在MF城市的水务负责人想知道，在已知每个管道单位时间容量的情况下，MF城每单位时间最多可以引入多少的湖水。
输入格式
由于输入规模较大，我们采用伪随机生成的方式生成数据。
每组数据仅一行包含 6 个非负整数 n, m, A, B, Q, X0。其中，n 和 m 如前文所述，表示管网的大小，保证 2 ≤ n, m ≤ 5000；保证 1 ≤ A, B, Q, X0 ≤ 109。
A, B, Q, X0 是数据生成的参数，我们用如下的方式定义一个数列 { Xi }：
Xi+1 = ( AXi + B) mod Q, (i ≥ 0)
我们将数列的第 1 项到第 (n-1)m 项作为纵向管道的单位时间容量，其中 X(s-1)m+t 表示第 s 行第 t 列的节点到第 s+1 行第 t 列管道单位时间的容量；将数列的第 (n-1)m+1 项到第 (n-1)m+(n-2)(m-1) 项（即接下来的 (n-2)(m-1) 项）作为横向管道的单位时间容量，其中 X(n-1)m+(s-2)(m-1)+t 表示第 s 行第 t 列的节点到第 s 行第 t+1 列管道单位时间的容量。
每组数据仅一行包含 6 个非负整数 n, m, A, B, Q, X0。其中，n 和 m 如前文所述，表示管网的大小，保证 2 ≤ n, m ≤ 5000；保证 1 ≤ A, B, Q, X0 ≤ 109。
A, B, Q, X0 是数据生成的参数，我们用如下的方式定义一个数列 { Xi }：
Xi+1 = ( AXi + B) mod Q, (i ≥ 0)
我们将数列的第 1 项到第 (n-1)m 项作为纵向管道的单位时间容量，其中 X(s-1)m+t 表示第 s 行第 t 列的节点到第 s+1 行第 t 列管道单位时间的容量；将数列的第 (n-1)m+1 项到第 (n-1)m+(n-2)(m-1) 项（即接下来的 (n-2)(m-1) 项）作为横向管道的单位时间容量，其中 X(n-1)m+(s-2)(m-1)+t 表示第 s 行第 t 列的节点到第 s 行第 t+1 列管道单位时间的容量。
输出格式
输出一行一个整数，表示MF城每单位时间可以引入的水量。
注意计算过程中有些参数可能超过32位整型表示的最大值，请注意使用64位整型存储相应数据。
注意计算过程中有些参数可能超过32位整型表示的最大值，请注意使用64位整型存储相应数据。
样例输入
3 3 10 3 19 7
样例输出
38
样例说明
使用参数得到数列 { Xi }={ 7, 16, 11, 18, 12, 9, 17, 2, 4, … }，按照输入格式可以得到每个管道的最大抽水量如下图所示：
在标准答案中，单位时间可以引水 38 单位。所有纵向管道均向下抽水即可，不需要横向管道抽水，也不需要向上放水。
样例输入
2 5 595829232 749238243 603779819 532737791
样例输出
1029036148
样例输入
5 2 634932890 335818535 550589587 977780683
样例输出
192923706
样例输入
5 5 695192542 779962396 647834146 157661239
样例输出
1449991168
评测用例规模与约定
共有10组评测数据，每组数据的参数规模如下所示：
| 测试点编号 | n | m |
| 1 | =2 | =1000 |
| 2 | =1000 | =2 |
| 3 | =1000 | =2 |
| 4 | =5 | =5 |
| 5 | =10 | =10 |
| 6 | =100 | =100 |
| 7 | =500 | =500 |
| 8 | =1000 | =1000 |
| 9 | =2000 | =2000 |
| 10 | =5000 | =5000 |
解析
这是一个最大流的问题，湖是源，城市是汇。
下面实现了ford-fulkerson算法，只能通过50%的数据。
有更好的方法求告知！
代码
C++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <utility>
#include <climits>
using namespace std; long long A, B, Q, X;
int numVertex; int nextRandom() {
X = (A * X + B) % Q;
return X;
} struct Edge {
int v; // vertex
int w; // weight
Edge(int v_, int w_) : v(v_), w(w_) {}
}; bool bfs(vector<vector<Edge> > &rgraph, int s, int t, vector<pair<int,int> > &parents) {
queue<int> q;
vector<bool> visited(numVertex);
q.push(s);
while(!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for(int i=; i<rgraph[u].size(); i++) {
int v = rgraph[u][i].v;
if(!visited[v] && rgraph[u][i].w>) {
visited[v] = true;
parents[v] = make_pair(u,i);
q.push(v);
if(v == t) return true;
} }
}
return false;
} long long fordFulkerson(vector<vector<Edge> > &rgraph, int s, int t) {
long long maxFlow = ;
vector<pair<int,int> > parents(numVertex);
while(bfs(rgraph, , , parents)) {
int pathFlow = INT_MAX;
for(int v=t; v!=s; ) {
int u=parents[v].first; int ui = parents[v].second;
pathFlow = min(pathFlow, rgraph[u][ui].w);
v = u;
}
maxFlow += pathFlow;
// cout << pathFlow << " " << maxFlow << endl;
for(int v=t; v!=s; ) {
int u = parents[v].first;
int ui = parents[v].second;
if(rgraph[u][ui].w!=INT_MAX) rgraph[u][ui].w -= pathFlow;
int vi = -;
for(int i=; i<rgraph[v].size(); i++) {
if(rgraph[v][i].v == u) {
vi = i;
}
}
if(vi!=- && rgraph[v][vi].w!=INT_MAX) rgraph[v][vi].w += pathFlow;
v = u;
}
}
return maxFlow;
} int main() {
int N, M;
cin >> N >> M >> A >> B >> Q >> X;
numVertex = N * M + ;
// 0:source, 1:sink,
vector<vector<Edge> > graph(numVertex, vector<Edge>()); int offset = ;
// construct graph
for(int n=; n<N-; n++) {
for(int m=; m<M; m++) {
int from = n*M+m+offset;
int to = from+M;
nextRandom();
graph[from].push_back(Edge(to, X));
graph[to].push_back(Edge(from, INT_MAX));
}
} for(int m=; m<M; m++) {
int from = ;
int to = m+offset;
graph[from].push_back(Edge(to, INT_MAX));
} for(int m=; m<M; m++) {
int from = (N-)*M+m+offset;
int to = ;
graph[from].push_back(Edge(to, INT_MAX));
} long long maxFlow = ; for(int n=; n<N-; n++) {
for(int m=; m<M-; m++) {
int from = n*M+m+offset;
int to = from+;
nextRandom();
graph[from].push_back(Edge(to, X));
graph[to].push_back(Edge(from, X));
}
} maxFlow += fordFulkerson(graph, , ); cout << maxFlow;
}