从向量空间的角度来理解方程组有无解的问题

在开始之前,我们需要明确方程组可以转化成一组列向量的线性组合。什么意思呢?我们以下面一个例子进行介绍:

\[ x_1+2x_2+x_3 = 1 \\ 2x_1+3x_2+3x_3 = 3 \\ x_1+3x_2+x_3=3 \]
可转化成如下形式:

\[ \left(\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {1} \\ {2} & {3} & {3} \\ {1} & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {3} \\ {3}\end{array}\right) \]

所以实际上上面方程组的本质就是对\([1,2,1]^T,[2,3,3]^T,[1,3,1]^T\)三个列向量进行线性组合得到\([1,3,3]^T\),至于如何组合就是X的解。

上面的方程组可以进一步用\(AX=b\)的形式表示,我们结合上面的方程组从如下两种情况来讨论方程组有无解的问题。

\(b=0\)

这种情况就是对三个列向量进行线性组合,最后得到原点。

从向量空间的角度来理解方程组有无解的问题

  • 如果\(r(A)=n\),即满秩(如图1),那么\(A\)中所有列向量线性独立,换句话说就是其中一个列向量无法由其余的列向量线性表示,即不存在\(k_2,k_3\)满足\(-a_1=k_2a_2+k_3a_3\),所以此时只有\(X=0\)才有解,但是这并不是我们关心的解。

  • 如果\(r(A)<n\)时(即图2),那么表示\(A\)中的列向量不是相互独立的,也就是说其中某一个列向量一定能由其他的列向量线性表示(\(-a1=k_2a_2+k_3a_3\)),因此该情况有解。

\(b≠0\)

这种情况就是对三个列向量进行线性组合,最后得到一个向量\(b\)。

从向量空间的角度来理解方程组有无解的问题

  • 第一种情况:\(r(A)=n\),如图3所示,\(A\)中三个列向量线性独立,也就是说三个列向量是三个独立的基向量,所以任意的向量都能由这三个向量线性表示,而此时只有唯一解。
  • 第二种情况:\(r(A)=r([A|b])<n\),如图4所示,此时有无限解。
  • 第三种情况:\(r(A)<r([A|b])\),如图5,也就是说向量\(b\)属于一个新的维度。例如图5中\(A\)的三个列向量只构造出了一个二维空间,而\(b\)并不在这个二维空间里,因此无论如何也无法用三个列向量线性表示出\(b\),因此这种情况无解。

总结

  • \(Ax=b\)
    • 若\(r(A)=r([A|b])\):
      • \(r(A)=r(B)=n\),有唯一解
      • \(r(A)=r(B)<n\),有无限多解
    • 若\(r(A)≠r(B)\)无解
  • \(Ax=0\)
    • 若\(r(A)=n\)只有零解
    • 若\(r(A)<n\)有无限解


MARSGGBO♥原创





2019-8-27



上一篇:WebRequest, WebRequest.Create GetResponse() GetResponseStream()


下一篇:UnityWebRequest POST到PHP不起作用