若 $f(z)$ 在 $D(0,1)$ 上全纯, 且 $f(0)=0$. 如果 $|\Re f(z)|<1$ 对所有 $z\in D(0,1)$ 都成立, 则不等式 $\dps{|\Re f(z)|\leq \frac{4}{\pi}\arctan|z|}$ 和 $\dps{|\Im f(z)|\leq \frac{2}{\pi}\ln\frac{1+|z|}{1-|z|}}$ 对所有 $z\in D(0,1)$ 都成立.    

证明:  几何地,  $$\bex  \frac{e^{i\frac{\pi}{2}f(z)}-1}{e^{i\frac{\pi}{2}f(z)}+1}:D(0,1)\to D(0,1)  \eex$$  以 $0$ 为不动点. 由 Schwarz 引理,  $$\bex  \sev{\frac{e^{i\frac{\pi}{2}f(z)}-1}{e^{i\frac{\pi}{2}f(z)}+1}}\leq |z|.  \eex$$  而可设  $$\bex  \frac{e^{i\frac{\pi}{2}f(z)}-1}{e^{i\frac{\pi}{2}f(z)}+1}  =|z|re^{i\tau},\quad 0\leq r<1,\ 0\leq \tau<2\pi.  \eex$$  于是  $$\bex  e^{i\frac{\pi}{2}f(z)}=\frac{1+|z|re^{i\tau}}{1-|z|re^{i\tau}}.  \eex$$  设  $$\bex  \Re f=u,\quad \Im f=v,  \eex$$  则  $$\bex  e^{-\frac{\pi}{2}v+i\frac{\pi}{2}u}=\frac{1+|z|re^{i\tau}}{1-|z|re^{i\tau}}.  \eex$$  于是    (1)  $$\beex  \bea  \frac{\pi}{2}u&=\Arg \frac{1+|z|r^{i\tau}}{1-|z|re^{i\tau}}\\  &=\Arg \frac{\sex{  1+|z|re^{i\tau}  }\sex{1-|z|re^{-i\tau}}}{  |1-|z|re^{i\tau}|^2  }\\  &=\Arg [1-|z|^2r^2+2i|z|r\sin \tau]\\  &=\arctan \frac{2|z|r\sin\tau}{1-|z|^2r^2},\\  |u|&=\sev{\frac{2}{\pi}\arctan \frac{2|z|r\sin\tau}{1-|z|^2r^2}}\\  &\leq\frac{2}{\pi}\arctan \frac{2|z|r}{1-|z|^2r^2}\\  &\leq \frac{2}{\pi}\arctan \frac{2|z|}{1-|z|^2}\quad\sex{\frac{2t}{1-t^2}\mbox{ 递增}}\\  &\leq \frac{4}{\pi}\arctan |z|\quad\sex{\varphi=\arctan|z|\ra \tan\varphi=|z|\ra \tan2\varphi=\frac{2\tan\varphi}{1-\tan^2\varphi}}.  \eea  \eeex$$  (2)  $$\beex  \bea  e^{-\frac{\pi}{2}v}  &=\sev{\frac{1+|z|r^{i\tau}}{1-|z|re^{i\tau}}}\\  &=\sqrt{\frac{  1+2|z|r\cos\tau +|z|^2r^2  }{1-2|z|r\cos\tau+|z|^2r^2}}\\  &\leq \sqrt{  \frac{  1+2|z|r+|z|^2r^2  }{  1-2|z|r+|z|^2r^2  }  }\\  &=\frac{1+|z|r}{1-|z|r}\\  &\leq \frac{1+|z|}{1-|z|},\\  |v|&\leq\frac{2}{\pi}\ln \frac{1+|z|}{1-|z|}.  \eea  \eeex$$