HDU 2082 母函数模板题

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Description

假设有x1个字母A, x2个字母B,..... x26个字母Z,同时假设字母A的价值为1,字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。那么,对于给定的字母,可以找到多少价值<=50的单词呢?单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和,比如,单词ACM的价值是1+3+14=18,单词HDU的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关,比如ACM与CMA认为是同一个单词)。 
 

Input

输入首先是一个整数N,代表测试实例的个数。 
然后包括N行数据,每行包括26个<=20的整数x1,x2,.....x26. 
 

Output

对于每个测试实例,请输出能找到的总价值<=50的单词数,每个实例的输出占一行。
 

Sample Input

2
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 2 6 2 10 2 2 5 6 1 0 2 7 0 2 2 7 5 10 6 10 2 10 6 1 9
 

Sample Output

7
379297
 

Source

2006/1/15 ACM程序设计期末考试
先说一下什么是母函数:传送门

生成函数,英文是Generating Function。恕本人不才,本文只介绍生成函数的其中一种用法。

生成函数是说,构造这么一个多项式函数g(x),使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数,我看到最多的是这样两句话:

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

其实这两句话我也不算太懂。先放这里,说不定以后可能会慢慢理解吧。

还是先举个大牛博客中的例子吧:

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚,问你能称出哪几种重量?每种重量各有几种方案?

下面是用母函数解决这个问题的思路:

首先,我们用X表示砝码,X的指数表示砝码的重量。那么,如果用函数表示每个砝码可以称的重量,

1个1克的砝码可以用函数X^0 + X^1表示,

1个2克的砝码可以用函数X^0 + X^2表示,

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘,可以得到X^0 + X^1 + X^2 + X^3。继续把它与X^0 + X^3相乘,得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。

聪明的你,是不是发现了什么?

如果没有,接着把它与X^0+X^4相乘,最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。

由于X的指数表示的是重量,所以,在相乘时,根据幂的运算法则(同底幂相乘,指数相加),得到的结果正是所有的方案。而且,每个X前面的系数代表它有几种方案。

真是神奇啊。。。。

需要注意的是,如果有2个1克的砝码,应该用X^0 + X^1 + X^2表示,而不是X^0 + 2*X^1。

母函数还可以解决其他问题,比如,整数划分。

整数划分是个很经典的问题,划分规则就不再细述,直接说思路。与上面的问题相比,每种砝码的个数不再是1个,而是无限个。于是,

1克的砝码可以用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示,

2克的砝码可以用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示,

3克的砝码可以用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示,

依次类推。

相乘后求出X^n的系数,就是结果。

总而言之,解决此类问题,只要模拟好2个多项式相乘就好了。

大概思路是开2个数组,c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数,c2[ ]保存每次计算时的临时结果,当每次计算完毕后,把它赋给c1,然后c2清零。

计算的时候,开3层for循环。最外层,记录它正在与第几个多项式相乘。第二层,表示c1中的每一项,第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

代码注释写的很详细,很容易懂。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int main()
{
int t,c1[],c2[],num[];
cin>>t;
while(t--)
{
memset(c1,,sizeof(c1));//c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数
memset(c2,,sizeof(c2)); //c2[ ]保存每次计算时的临时结果
memset(num,,sizeof(num));
for(int i=;i<=;i++)
cin>>num[i];
c1[]=; //相当于用X^0去乘以后面的多项式
for(int i=;i<=;i++)//要乘以26个多项式
{for(int j=;j<=;j++)//c1的各项的指数
for(int k=;k<=num[i]&&j+k*i<=;k++)
//k*i表示被乘多项式各项的指数,(X^0*i + X^1*i + X^2*i + ……)
c2[j+k*i]+=c1[j];
//指数相加得j+k*i,加多少只取决于c1[j]的系数,因为被乘多项式的各项系数均为1
memcpy(c1,c2,sizeof(c1));
memset(c2,,sizeof(c2));}
int ans=;
for(int i=;i<=;i++)
ans+=c1[i];
cout<<ans<<endl;
}
return ;
}
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